KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4535. (April 2013)

B. 4535. Solve the equation (x2-x-1)2-x3=5.

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Rendezzük át az egyenletet. 5=22+13.

Megoldás.

(x2-x-1)2-22=x3+13

((x2-x-1)+2)((x2-x-1)-2)=(x+1)(x2-x+1)

(x2-x+1)(x2-x-3)=(x+1)(x2-x+1)

(x2-x+1)((x2-x-3)-(x+1))=0

(x2-x+1)(x2-2x-4))=0.

Az első tényezőnek nincsenek valós gyökei, mert x^2-x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0. A második tényező,

x2-2x-4=(x-1)2-5

gyökei 1+\sqrt5 és 1-\sqrt5. Az átalakításaink megfordíthatóak, ezért ezek valóban megoldások.

Az egyenletnek tehát két valós megoldása van: 1+\sqrt5 és 1-\sqrt5.


Statistics:

108 students sent a solution.
5 points:Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Berezvai Orsolya, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Csépai András, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kulcsár Ildikó, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Márton Boldizsár, Nagy-György Pál, Páli Petra, Paulovics Zoltán, Qian Lívia, Sagmeister Ádám, Seress Dániel, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tekeli Miklós, Tossenberger Tamás, Tóth 095 Zsombor, Wiandt Péter, Wiandt Zsófia, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:62 students.
3 points:5 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley