KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4539. (April 2013)

B. 4539. The centroid of a triangle ABC is S, and its circumcentre is K. The centres of the circumscribed circles of the triangles BCS, CAS and ABS are P, Q and R. Prove that K is the centroid of triangle PQR.

(Suggested by Zs. Sárosdi, Veresegyház)

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalai az \(\displaystyle SA\), \(\displaystyle SB\), \(\displaystyle SC\) szakaszok felezőmerőlegesei. Elegendő megmutatni, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalfelező merőlegesei a \(\displaystyle PQR\) háromszög súlyvonalai, hiszen ekkor a három egyenes közös \(\displaystyle K\) pontja a \(\displaystyle PQR\) háromszög súlypontja lesz. Ezt szimmetria okok miatt elég egy felezőmerőlegesre bizonyítani.

Jelölje az oldalak felezőpontjait az ábra szerint \(\displaystyle A_0\), \(\displaystyle B_0\) és \(\displaystyle C_0\), valamint \(\displaystyle PQ\)-nak és \(\displaystyle AB\) felezőmerőlegesének metszéspontját \(\displaystyle T\). Ha megmutatjuk, hogy \(\displaystyle T\) felezi a PQ szakaszt, akkor bebizonyítottuk az állítást. Vetítsük a \(\displaystyle PQ\) szakaszt merőlegesen \(\displaystyle AB\)-re, \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) képe legyen rendre \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle D\). \(\displaystyle T\) képe nyilván \(\displaystyle C_0\), amivel \(\displaystyle AB\) felezőpontját jelöltük. Amennyiben \(\displaystyle T\) felezőpont, \(\displaystyle C_0\) felezi \(\displaystyle ED\)-t is, amiből \(\displaystyle {AD = EB}\). Megfordítva: ha ez igaz, a feladat állítása is igaz.

A \(\displaystyle CS\) egyenes az \(\displaystyle ACS\) és \(\displaystyle BCS\) háromszögek köré írt körök közös húrja, vagyis hatványvonala. Emiatt \(\displaystyle C_0\)-nak a két körre vonatkozó hatványa ugyanakkora, vagyis a körök \(\displaystyle AB\)-vel vett második metszéspontját \(\displaystyle G\)-vel és \(\displaystyle F\)-el jelölve:

\(\displaystyle C_0F\cdot C_0A = C_0G\cdot C_0B. \)

Mivel \(\displaystyle C_0A = C_0B \ne 0\), leoszthatunk vele. Azt kapjuk, hogy \(\displaystyle C_0F = C_0G\). Mivel \(\displaystyle C_0\) felezőpont, ebből következik, hogy \(\displaystyle AF = BG\). \(\displaystyle AF\) és \(\displaystyle BG\) rendre az \(\displaystyle ACS\), illetve \(\displaystyle BCS\) körök húrjai, így a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok felezik őket (mivel középpontból húrra bocsátott merőlegesek talppontjai). Tehát az \(\displaystyle AF = BG\) egyenlőséget kettővel osztva kapjuk, hogy \(\displaystyle AD = EB\). Ezzel pedig bebizonyítottuk az állítást.

Sárosdi Zsombor (Budapest, Németh László Gimn., 11. évf.)


Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Maga Balázs, Makk László, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Szabó 524 Tímea, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde.
4 points:Sagmeister Ádám.
3 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley