Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4541. (April 2013)

B. 4541. Let \mathcal K be the convex hull of the points with coordinates (1;1;1), (2;4;8), ..., (100;1002;1003). How many vertices, edges and faces does \mathcal K have?

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vetítsünk az xy síkra, illetve alkalmazzuk a poliédertételt.

Megoldásvázlat. Legyen a konvex burok K, a csúcsok, élek és lapok száma C, E, illetve L.

A pontok xy-síkra eső vetületei az y=x2 síkon parabolán vannak, és különböznek egymástól. A K vetülete az y=x2 síkon tehát egy konvex 100-szög. Ebből következik, hogy mind a 100 pont csúcsa K-nak, és mivel más csúcs nincs, C=100.

Megmutatjuk, hogy K csúcsai közöl semelyik három nem esik egy síkra. Ebből következik, hogy K minden lapja háromszög. Ismert, hogy tetszőleges négy pont, (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) és (x4,y4,z4) akkor és csak akkor esik egy síkra, ha


\left|\matrix{
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \cr
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \cr
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \cr
x_4 & y_4 & z_4 & 1 \cr
}\right|=0.

Ha ezt K négy különböző csúcsára, az (a,a2,a3), (b,b2,b3), (c,c2,c3) és (d,d2,d3) pontokra alkalmazzuk, láthatjuk, hogy


\left|\matrix{
a & a^2 & a^3 & 1 \cr
b & b^2 & b^3 & 1 \cr
c & c^2 & c^3 & 1 \cr
d & d^2 & d^3 & 1 \cr
}\right| = -(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\ne0.

Ezek után az egymáshoz illeszkedő él-lap párok kettős leszámlálából

2E=3L,

a poliédertételből pedig

C+L=E+2.

Ebből kapjuk, hogy

E=3E-2E=3(C+L-2)-3L=3C-6=294,

és

L=3L-2L=2E-2(E+2-C)=2C-4=196.

A konvex buroknak tehát 100 csúcsa, 294 éle és 196 háromszöglapja van.


Statistics:

18 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Herczeg József, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada.
5 points:Csépai András, Forrás Bence.
2 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013