KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4543. (May 2013)

B. 4543. Some vertices of a regular nonagon are coloured red, the rest of them are coloured black. A triangle is said to be ``boring'' if all of its vertices are the same colour. Prove that there are two congruent ``boring'' triangles.

Matlap, Kolozsvár

(4 pont)

Deadline expired on 10 June 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Hányféle háromszöget határoznak meg a csúcsok?

1. megoldás (vázlat). Megmutatjuk, hogy egybevágóság erejéig a kilencszög csúcsai összesen 7-féle háromszöget határoznak meg, míg az unalmas háromszögek száma legalább 14.

Egy-egy háromszöget egybevágóság erejéig meghatároz, hogy a csúcsai milyen hosszú darabokra osztják a kilencszög kerületét. A darabok hosszát az oldalak darabszámával mérve, mindhárom hosszúság pozitív egész, és az összegük 9. Az ilyen hármasok a következők:

(1,1,7),  (1,2,6),  (1,3,5),  (1,4,4),  (2,2,5),  (2,3,4),  (3,3,3).

Ez összesen 7-féle háromszöget jelent.

Ha a csúcsok közül p darabot színeztünk pirosra, és 9-p darabot kékre, akkor az unalmas háromszögek száma \binom{p}{3} + \binom{9-p}{3}. Mivel


\binom03+\binom93 = 84, ~~
\binom13+\binom83 = 56, ~~
\binom23+\binom73 = 35, ~~
\binom33+\binom63 = 21, ~~
\binom43+\binom53 = 14,

az unalmas háromszögek száma minden esetben legalább 14.

2. megoldás (vázlat). Legyenek a csúcsok rendre A1,A2,...,A9. Osztályozzuk az A1A2, A2A3, ..., A9A1 oldalakat aszerint, hogy kezdő- és végpontjaik milyen színűek. Mivel 9 oldal van, és csak 4-féle osztály, valamelyik osztályba legalább 3 oldal tartozik.

Tegyük tehát fel, hogy az AiAi+1, AjAj+1 és AkAk+1 oldalak ugyanabba az osztályba tartoznak; ekkor tehát Ai, Aj, Ak azonos színű, továbbá Ai+1, Aj+1 és Ak+1 is azonos színű. Ekkor viszont az AiAjAk és az Ai+1Aj+1Ak+1 háromszög is unalmas, ez a két háromszög különböző, és egymás elforgatottja.

3. megoldás (vázlat). A kilencszög egy oldalát vagy átlóját nevezzük pirosnak, feketének, illetve vegyesnek, ha mindkét végpontja piros, mindkét végpontja fekete, illetve ha végpontjai ellentétes színűek.

(1) Ha van két párhuzamos piros oldal vagy áltló, AB és CD, akkor ezek egy szimmetrikus trapézt határoznak meg, amelynek minden csúcsa piros; ekkor az ABC és BAD háromszögek egybevágó unalmas háromszögek.

(2) Hasonlóképpen igaz az állítás, ha van két párhuzamos fekete átló vagy oldal.

(3) Ha van három párhuzamos vegyes átló/oldal, AB, CD, EF, ahol mondjuk A,C,E piros és B,D,F fekete, akkor ezek közös felező merőlegesére szimetrikusak az ACE és BDF egyszínű háromszögek.

Megmutatjuk, hogy a (1-3) esetek valamelyike biztosan teljesül. Mivel a színek szerepe szimmetrikus, az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy több piros pont van, mint fekete. Ha az összes csúcs piros, akkor az állitásunk triviális. Tegyük tehát fel, hogy van legalább egy fekete csúcs; legyen ez A1, és a többi csúcs sorban A2,...,A9.

Tekintsük az A2A9, A3A8, A4A7 átlókat és az A5A6 oldalt; ezek egymással párhuzamosak. Ha (1-3) egyike sem teljesül, akkor a négy szakasz között legfeljebb egy piros, legfeljebb egy fekete és legfeljebb két vegyes lehet; ez csak úgy fordulhatna elő, ha pontosan egy piros és pontosan fekete lenne közöttük. Ekkor viszont az A1 ponttal együtt a kilenc csúcs között 5 fekete és 4 piros lenne, viszont feltételeztük, hogy több piros van, mint fekete.


Statistics:

85 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:8 students.
2 points:7 students.
1 point:4 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley