KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4544. (May 2013)

B. 4544. Solve the simultaneous equations below.

x+y+z=3,

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{12},

x3+y3+z3=45.

Competition problem from the Felvidék

(4 pont)

Deadline expired on 10 June 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Írjuk fel azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei x, y, z.

Megoldásvázlat. Legyen A=x+y+z, B=xy+xz+yz és C=xyz; ekkor x,y,z a t3-At2+Bt-C harmadfokú polinom gyökei.

Az egyenletrendszert átírva A,B,C-re,

A=3,(1)
 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{B}{C} = \frac{5}{12}, (2)
x3+y3+z3=A3-3AB+3C=45.(3)

A (2)-ből B=\frac{5}{12}C; ezt és A=3-at behelyettesítve (3)-ba,

 27 - 9\cdot \frac{5}{12}C + 3C = 45

C=-24.

Ezután B = \frac{5}{12}C = -10. Az A=3, B=-10, C=-24 valóban megoldása (1-3)-nak.

Az x,y,z számhármas akkor és csak akkor megoldásaz egyenletrendszernek, ha x, y és z a

t3-At2+Bt-C=t3-3t2-10t+24=(t-4)(t-2)(t+3)

polinom három gyöke. Az egyenletrendszer megoldásai a (-3,2,4) számhármas és permutációi.


Statistics:

89 students sent a solution.
4 points:67 students.
3 points:10 students.
2 points:1 student.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley