Problem B. 4544. (May 2013)
B. 4544. Solve the simultaneous equations below.
x+y+z=3,
x3+y3+z3=45.
Competition problem from the Felvidék
(4 pont)
Deadline expired on June 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldási ötlet: Írjuk fel azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei x, y, z.
Megoldásvázlat. Legyen A=x+y+z, B=xy+xz+yz és C=xyz; ekkor x,y,z a t3-At2+Bt-C harmadfokú polinom gyökei.
Az egyenletrendszert átírva A,B,C-re,
A=3, | (1) |
(2) |
x3+y3+z3=A3-3AB+3C=45. | (3) |
A (2)-ből ; ezt és A=3-at behelyettesítve (3)-ba,
C=-24.
Ezután . Az A=3, B=-10, C=-24 valóban megoldása (1-3)-nak.
Az x,y,z számhármas akkor és csak akkor megoldásaz egyenletrendszernek, ha x, y és z a
t3-At2+Bt-C=t3-3t2-10t+24=(t-4)(t-2)(t+3)
polinom három gyöke. Az egyenletrendszer megoldásai a (-3,2,4) számhármas és permutációi.
Statistics:
89 students sent a solution. 4 points: 67 students. 3 points: 10 students. 2 points: 1 student. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013