KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4545. Is it possible for the sum of the reciprocals of 2013 different positive integers to be

a) 2.013;

b) 20.13?

Matlap, Kolozsvár

(5 points)

Deadline expired on 10 June 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldási ötlet: Keressünk rekurzív előállítást, illetve alkalmas becslést.

Megoldás. a) Igen.

A 2,013 számot többféleképpen is feírhatjuk néhány különböző pozitív egész reciporokának összegeként, például

\(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{100}+\frac1{500}+\frac1{1000} \)(1)

vagy

\(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{80}+\frac1{2000}. \)(2)

A tagok számát eggyel növelhetjük a következőképpen: ha a legkisebb tag \(\displaystyle \frac1a\) (ahol \(\displaystyle a>1\)), akkor ezt elhagyjuk, és a felíráshoz hozzávesszük az \(\displaystyle \frac1{a+1}\), és \(\displaystyle \frac1{a(a+1)}\) tagokat. Mivel \(\displaystyle \frac1{a+1}+\frac1{a(a+1)}=\frac1a\), az összeg nem változik. Továbbá, mivel a legkisebb tagot cseréljük három még kisebbre, a tagok továbbra is különbözők.

Az (1,2) felírások valamelyikéből kiindulva, a fenti lépést ismételgetve eljuthatunk egy 2013 tagú előállításhoz.

b) Nem.

Ha \(\displaystyle a_1<a_2<...<a_{2013}\) egész számok, akkor minden \(\displaystyle 1\le i\le 2013\)-ra \(\displaystyle a_i\ge i\), és így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} \le \sum_{i=1}^{2013}\frac1i. \)

Ezt az összeget az \(\displaystyle 1/x\) függvény integrálásával becsülhetjük: az \(\displaystyle (i-1,i)\) intervallumban \(\displaystyle \frac1x<\frac1i\), így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < 1 + \sum_{i=2}^{2013} \int_{i-1}^i \frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \int_1^{2013}\frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \ln 2013 \approx 7,07 < 20,13. \)

Tehát

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} < 20,13, \)

vagyis az 20,13 előállításához nem elég 2013 pozitív egész szám.

Megjegyzés. A \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i\) összeget úgy is megbecsülhetjük, hogy a nevezőket 2-hatványokra cseréljük:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < \frac11 +\left(\frac12+\frac13\right) +\left(\frac14+\dots+\frac17\right) +\left(\frac18+\dots+\frac1{15}\right) +\dots +\left(\frac1{1024}+\dots+\frac1{2047}\right) < \)

\(\displaystyle < 1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14+\dots+1024\cdot\frac1{1024} = 11. \)


Statistics on problem B. 4545.
75 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:10 students.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley