KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4545. (May 2013)

B. 4545. Is it possible for the sum of the reciprocals of 2013 different positive integers to be

a) 2.013;

b) 20.13?

Matlap, Kolozsvár

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Keressünk rekurzív előállítást, illetve alkalmas becslést.

Megoldás. a) Igen.

A 2,013 számot többféleképpen is feírhatjuk néhány különböző pozitív egész reciporokának összegeként, például

\(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{100}+\frac1{500}+\frac1{1000} \)(1)

vagy

\(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{80}+\frac1{2000}. \)(2)

A tagok számát eggyel növelhetjük a következőképpen: ha a legkisebb tag \(\displaystyle \frac1a\) (ahol \(\displaystyle a>1\)), akkor ezt elhagyjuk, és a felíráshoz hozzávesszük az \(\displaystyle \frac1{a+1}\), és \(\displaystyle \frac1{a(a+1)}\) tagokat. Mivel \(\displaystyle \frac1{a+1}+\frac1{a(a+1)}=\frac1a\), az összeg nem változik. Továbbá, mivel a legkisebb tagot cseréljük három még kisebbre, a tagok továbbra is különbözők.

Az (1,2) felírások valamelyikéből kiindulva, a fenti lépést ismételgetve eljuthatunk egy 2013 tagú előállításhoz.

b) Nem.

Ha \(\displaystyle a_1<a_2<...<a_{2013}\) egész számok, akkor minden \(\displaystyle 1\le i\le 2013\)-ra \(\displaystyle a_i\ge i\), és így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} \le \sum_{i=1}^{2013}\frac1i. \)

Ezt az összeget az \(\displaystyle 1/x\) függvény integrálásával becsülhetjük: az \(\displaystyle (i-1,i)\) intervallumban \(\displaystyle \frac1x<\frac1i\), így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < 1 + \sum_{i=2}^{2013} \int_{i-1}^i \frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \int_1^{2013}\frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \ln 2013 \approx 7,07 < 20,13. \)

Tehát

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} < 20,13, \)

vagyis az 20,13 előállításához nem elég 2013 pozitív egész szám.

Megjegyzés. A \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i\) összeget úgy is megbecsülhetjük, hogy a nevezőket 2-hatványokra cseréljük:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < \frac11 +\left(\frac12+\frac13\right) +\left(\frac14+\dots+\frac17\right) +\left(\frac18+\dots+\frac1{15}\right) +\dots +\left(\frac1{1024}+\dots+\frac1{2047}\right) < \)

\(\displaystyle < 1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14+\dots+1024\cdot\frac1{1024} = 11. \)


Statistics:

75 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:10 students.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley