Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4546. (May 2013)

B. 4546. What is the largest possible number of rays from a common starting point in the space such that they pairwise enclose obtuse angles?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szabályos tetraéder centrumából a csúcsok felé futó félegyenesek egymással tompaszöget zárnak be, \(\displaystyle n\) tehát lehet \(\displaystyle 4\) (és nyilván \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 0\) is).

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle n\) nem lehet \(\displaystyle 4\)-nél nagyobb. Tekintsük a félegyenesek irányába mutató egységvektorokat: feltevésünk szerint ezek skaláris szorzata negatív. Válasszuk a koordinátarendszer pozitív \(\displaystyle x\)-tengelyének az egyik félegyenest, akkor a többi első koordinátája negatív. Ha (\(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\)) és (\(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle b_2\), \(\displaystyle b_3\)) a többiek közül kettő, ezek skaláris szorzata \(\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\), ami \(\displaystyle a_1b_1>0\) miatt csak úgy lehet negatív, ha \(\displaystyle a_2b_2+a_3b_3<0\), vagyis az \(\displaystyle (a_2,\,a_3)\), \(\displaystyle (b_2,\,b_3)\) vektorok skaláris szorzata is negatív. Tehát a többinek az \(\displaystyle (y,\,z)\) síkra való vetületei között is tompaszögek vannak. Válasszuk \(\displaystyle y\)-tengelynek e vetületek egyikét, akkor a többinek a második koordinátája is negatív, tehát a harmadik koordináták szorzata is negatív. Márpedig legfeljebb kételemű lehet a valós számoknak az a halmaza, amelyben bármely két szám szorzata negatív, hiszen a halmaznak \(\displaystyle 0\) nem lehet eleme, és ha \(\displaystyle 2\)-nél több eleme volna, azok között volna két egyforma előjelű. Látható, hogy meggondolásunk tetszőleges dimenzióban érvényes, tehát általában a \(\displaystyle k\)-dimenziós térben \(\displaystyle n\le k+1\).


Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Formanek András, Forrás Bence, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Mándoki Sára, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde.
4 points:Balogh Tamás, Gyulai-Nagy Szuzina, Hegyi Zoltán, Lelkes János, Németh Gergely, Sztilkovics Milán.
3 points:2 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013