Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4547. (May 2013)

B. 4547. Determine the minimum value of the expression \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}}\,.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kifejezés minden valós \(\displaystyle x\)-re értelmezett, mivel

\(\displaystyle \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}} = \)

\(\displaystyle = \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{\!\!2} +\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2}} +\sqrt{\bigg(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{1}{2}\right)^{\!\!2}}.\)

Legyenek a derékszögű koordináta-rendszerben az \(\displaystyle A\) pont koordinátái \(\displaystyle \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), a \(\displaystyle B\) pont koordinátái \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)\), továbbá a \(\displaystyle C\) pont koordinátái \(\displaystyle (x; 0)\). Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok helye rögzített, míg a \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle x\)-tengely tetszőleges pontja. Ekkor

\(\displaystyle AC =\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{\!\!2} +\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2}}, \qquad BC =\sqrt{\bigg(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{1}{2}\right)^{\!\!2}}.\)

Az tehát a kérdés, hogy az \(\displaystyle x\)-tengely melyik pontjára lesz az \(\displaystyle AC+BC\) hossza minimális. Ha a \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz és az \(\displaystyle x\)-tengely metszéspontja, akkor a két távolság összege éppen az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszával egyenlő, minden más \(\displaystyle C'\) pontjára teljesül a háromszög-egyenlőtlenség:

\(\displaystyle AC'+BC'>AB. \)

A keresett minimum az \(\displaystyle AB\) távolság:

\(\displaystyle AB =\sqrt{\bigg(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{\sqrt{3}}{2} -\left(-\frac{1}{2}\right)\right)^{\!\!2}}= \)

\(\displaystyle =\sqrt{2\cdot \bigg(\frac{\sqrt{3}}{2} \,\bigg)^{\!\!2}+2\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\!\!2}} =\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.\)

Ezt a minimális értéket arra a pontra kapjuk, amelyben az \(\displaystyle AB\) egyenes metszi az \(\displaystyle x\)-tengelyt.

Az \(\displaystyle AB\) egyenes egyenlete

\(\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot x +\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(\!-\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=y,\)

\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\cdot x+\frac{2}{\sqrt{3}-1}.\)

Az \(\displaystyle x\)-tengellyel a metszéspont az a pont lesz, amelynek második koordinátája \(\displaystyle 0\).

\(\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1. \)

Tehát az \(\displaystyle \textstyle \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}}\) kifejezés minimuma \(\displaystyle \sqrt{2}\), minimumhelye \(\displaystyle x=\sqrt{3}-1\).

Nagy-György Pál (Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, Szeged, 10. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Csépai András, Csurgai-Horváth Bálint, Demeter Dániel, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lelkes János, Mezősi Máté, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 points:18 students.
3 points:3 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013