Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4549. (May 2013)

B. 4549. Prove that the sum of the sines of the angles in a triangle cannot be smaller than the sum of the sines of the doubles of the angles.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: A két oldal különbségét csoportosítsuk.

Megoldásvázlat: Legyenek a szögek \alpha,\beta,\gamma. A \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2 azonosság alapján, figyelmbe véve, hogy sin \gamma>0,


\frac{\sin 2\alpha + \sin 2\alpha}2 =
\sin(\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)=
\sin \gamma \cos (\alpha-\beta) \le \sin \gamma. (*)

Ezt a másik két párra is felírva és összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

A (*) becslésben akkor van egyenlőség, ha cos (\alpha-\beta)=1, azaz \alpha=\beta. Ahhoz, hogy az állításban egyenlőség álljon fenn, szükséges és elégséges, hogy mindhárom becslésben egyenlőség álljon, azaz bármelyik két szög megegyezzen. Ezért az állításban akkor és csak akkor van egyenlőség, ha a háromszög szabályos.


Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Lelkes János, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada.
4 points:Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Boguszlavszkij Gergely, Csépai András, Csernák Tamás, Czövek Márton, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Juhász 995 Mátyás Péter, Kátay Tamás, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Osváth Tibor Attila, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Seress Dániel, Simkó Irén, Sütő Máté, Szabó 928 Attila, Vályi András, Zilahi Tamás.
3 points:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013