KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4550. (May 2013)

B. 4550. Prove that every power of 2 that is larger than 4 can be represented in the form a2+7b2, where a and b are positive odd numbers.

Suggested by K. Williams Kada, Szeged

(6 pont)

Deadline expired on 10 June 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Keressünk rekurzív előállítást.

Megoldás: Könnyen ellenőrizhető, hogy

 
2(a^2+7b^2) 
= \left|\frac{a\pm 7b}2\right|^2 + 7\left|\frac{a\mp b}2\right|^2.
(1)

(Ez az azonosság az (a+b\sqrt7i)(c+d\sqrt7i)=(ac-7bd)+(ad+bc)\sqrt7i azonosságból származik.)

Az szükséges (a,b) párokat rekurzívan adjuk meg. Minden k\ge3-hoz konstruálunk egy páratlan pozitív egészekből álló (ak,bk) párt, amire ak2+7bk2=2k.

Legyen a3=b3=1. Ezekre valóban teljesül, hogy a32+7b33=23.

Ha az (ak,bk) számpárt már definiáltuk, akkor legyen


\matrix{
a_{k+1}=\dfrac{|a_k-7b_k|}2, & b_{k+1} = \dfrac{a_k+b_k}2 &
{\rm ha~} 
a_k\equiv b_k \pmod4; \cr
a_{k+1}=\dfrac{a_k+7b_k}2, & b_{k+1} = \dfrac{|a_k-b_k|}2 &
{\rm ha~} a_k\equiv -b_k \pmod4. \cr
}

Mivel ak és bk páratlan, a definíció értelmes, a kapott számok valóban egészek, és nem lehetnek negatívak. Még azt kell ellenőriznünmk, hogy páratlanok.

Ha a_k\equiv b_k\equiv \pm1 \pmod4, akkor a_k-7b_k\equiv a_k+b_k\equiv 2\pmod4, ezért a_{k+1}=\dfrac{|a_k-7b_k|}2 és b_{k+1} = \dfrac{a_k+b_k}2 is páratlan. Hasonlóan, ha a_k\equiv -b_k\equiv \pm1 \pmod4, akkor a_k+7b_k\equiv a_k-b_k\equiv 2\pmod4, ezért a_{k+1}=\dfrac{a_k+7b_k}2 és b_{k+1} = \dfrac{|a_k-b_k|}2 is páratlan.

Ezzel minden k\ge3-ra konstruáltunk egy megfelelő számpárt.

Megjegyzések. 1. A fenti sorozatokat közvetlenül is megadhatjuk.

Defniáljuk az An, Bn számokat (n=0,1,2,...) a következőképpen:


\left(\frac{1\pm\sqrt7i}2\right)^n = \frac{A_n\pm B_n\sqrt7i}2.

Ekkor A0=2, A1=1, A2=-3, ... és B0=0, B1=1, B2=1, ..., teljesülnek az An+1=An-2An-1 és Bn+1=Bn-2Bn-1 összefüggések (ezekből leolvasható, hogy n\ge1 esetén An és Bn is páratlan), továbbá


A_n^2+7B_n^2 
= 4\cdot \frac{A_n+B_n\sqrt7i}2 \cdot \frac{A_n-B_n\sqrt7i}2
= 4\cdot 
\left(\frac{1+\sqrt7i}2\right)^n \left(\frac{1-\sqrt7i}2\right)^n = 2^{n+2}.

Ezért az ak=|Ak-2|, bk=|Bk-2| választás megfelelő.

2. A keresett számsorozat egyértelmű. Ez az előző megjegyzés alapján is igazolható, de abból is bizonyítható, hogy az x+y\frac{1\sqrt7i}2 alakú számok körében, ahol x,y egészek, igaz a számelmélet alaptétele: minden x+y\frac{1\sqrt7i}2 alakú szám lényegében egyértelműen írható fel irreducibilis elemek szorzataként.


Statistics:

31 students sent a solution.
6 points:Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lelkes János, Maga Balázs, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
5 points:Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Herczeg József, Kabos Eszter, Petrényi Márk, Török Tímea.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley