Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4553. (September 2013)

B. 4553. For what positive integers k will 2.3k be a perfect number?

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az n=2.3k szám pozitív osztói az 1,3,3^2\ldots,3^k és a 2,2\cdot3,2\cdot3^2,\ldots,2\cdot3^k számok; összegük, a mértani sorozat összegképletét felhasználva,


\sigma(n) = \sigma(2\cdot 3^{k}) =
1+3+3^2+\ldots+3^k+2+2\cdot3+2\cdot3^2+\ldots+2\cdot3^k =


= 3(1+3+3^2+\ldots+3^k) = 3\cdot\frac{3^{k+1}-1}2 =
3\cdot\frac{3\frac{n}2-1}2 = \frac{9n-6}4.

Az n szám akkor "tökéletes", ha \sigma(n)=2n, azaz


\frac{9n-6}4 = 2n

n=6=2.31.

Az egyetlen megoldás tehát a k=1.

Megjegyzés. Ismert, hogy a páros tökéletes számok a 2p-1(2p-1) alakú számok, ahol 2p-1 prím. A 2p-1 alakú prímszámokat Mersenne-prímnek nevezik.


Statistics:

311 students sent a solution.
3 points:229 students.
2 points:25 students.
1 point:38 students.
0 point:19 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013