Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4553. feladat (2013. szeptember)

B. 4553. Melyek azok a k pozitív egész számok, amelyekre 2^.3^k tökéletes szám?

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az n=2^.3^k szám pozitív osztói az $1,3,3^2\ldots,3^k$ és a $2,2\cdot3,2\cdot3^2,\ldots,2\cdot3^k$ számok; összegük, a mértani sorozat összegképletét felhasználva,

$\sigma(n) = \sigma(2\cdot 3^{k}) = 1+3+3^2+\ldots+3^k+2+2\cdot3+2\cdot3^2+\ldots+2\cdot3^k =$

$= 3(1+3+3^2+\ldots+3^k) = 3\cdot\frac{3^{k+1}-1}2 = 3\cdot\frac{3\frac{n}2-1}2 = \frac{9n-6}4.$

Az n szám akkor "tökéletes", ha $\sigma$ (n)=2n, azaz

$\frac{9n-6}4 = 2n$

n=6=2^.3¹.

Az egyetlen megoldás tehát a k=1.

Megjegyzés. Ismert, hogy a páros tökéletes számok a 2^p-1(2^p-1) alakú számok, ahol 2^p-1 prím. A 2^p-1 alakú prímszámokat Mersenne-prímnek nevezik.

Statisztika:

311 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 229 versenyző.

2 pontot kapott: 25 versenyző.

1 pontot kapott: 38 versenyző.

0 pontot kapott: 19 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai

311 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	229 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	38 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.