KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4554. Three angles of a cyclic quadrilateral are \alpha, 2\alpha and 3\alpha. Determine the angles of the cyclic quadrilateral.

Suggested by Gy. Lakos, Budapest

(3 points)

Deadline expired on 10 October 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelöjük a negyedik szög nagyságát \beta-val. Mint tudjuk, a húrnégyszög szemközt szögeinek összege 180o. A \alpha, 2\alpha és 3\alpha szöge közül valamelyik a \beta-val szemben fekszik, ez 3 esetet jelent.

1. eset: A \beta-val szemközti szög \alpha, ekkor tehát 2\alpha és 3\alpha egymással szemben fekszik, így \alpha+\beta=180o és 2\alpha+3\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}5=36^\circ, az elsőből pedig \beta=180o-\alpha=144o. A négyszög szögei tehát rendre

2\alpha=72o\alpha=36o, 3\alpha=108o\beta=144o.

2. eset: A \beta-val szemközti szög 2\alpha, ekkor \alpha és 3\alpha egymással szemben fekszik, 2\alpha+\beta=180o és \alpha+3\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}4=45^\circ, az elsőből \beta=180o-2\alpha=90o. A négyszög szögei tehát rendre

\alpha=45o, 2\alpha=90o, 3\alpha=135o\beta=90o.

3. eset: A \beta-val szemközti szög 3\alpha, ekkor \alpha és 2\alpha szemben fekszik egymással, 3\alpha+\beta=180o és \alpha+2\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}3=60^\circ, az elsőből \beta=180o-3\alpha=0. Mivel \beta>0, ez az eset nem lehetséges.

A négyszög szögei tehát: 72o, 36o, 108o, 144o, vagy 45o, 90o, 135o, 90o.


Statistics on problem B. 4554.
390 students sent a solution.
3 points:319 students.
2 points:55 students.
1 point:16 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley