Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4554. (September 2013)

B. 4554. Three angles of a cyclic quadrilateral are \alpha, 2\alpha and 3\alpha. Determine the angles of the cyclic quadrilateral.

Suggested by Gy. Lakos, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöjük a negyedik szög nagyságát \beta-val. Mint tudjuk, a húrnégyszög szemközt szögeinek összege 180o. A \alpha, 2\alpha és 3\alpha szöge közül valamelyik a \beta-val szemben fekszik, ez 3 esetet jelent.

1. eset: A \beta-val szemközti szög \alpha, ekkor tehát 2\alpha és 3\alpha egymással szemben fekszik, így \alpha+\beta=180o és 2\alpha+3\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}5=36^\circ, az elsőből pedig \beta=180o-\alpha=144o. A négyszög szögei tehát rendre

2\alpha=72o\alpha=36o, 3\alpha=108o\beta=144o.

2. eset: A \beta-val szemközti szög 2\alpha, ekkor \alpha és 3\alpha egymással szemben fekszik, 2\alpha+\beta=180o és \alpha+3\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}4=45^\circ, az elsőből \beta=180o-2\alpha=90o. A négyszög szögei tehát rendre

\alpha=45o, 2\alpha=90o, 3\alpha=135o\beta=90o.

3. eset: A \beta-val szemközti szög 3\alpha, ekkor \alpha és 2\alpha szemben fekszik egymással, 3\alpha+\beta=180o és \alpha+2\alpha=180o. A második feltételből \alpha=\frac{180^\circ}3=60^\circ, az elsőből \beta=180o-3\alpha=0. Mivel \beta>0, ez az eset nem lehetséges.

A négyszög szögei tehát: 72o, 36o, 108o, 144o, vagy 45o, 90o, 135o, 90o.


Statistics:

390 students sent a solution.
3 points:319 students.
2 points:55 students.
1 point:16 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013