KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4556. (September 2013)

B. 4556. Solve the simultaneous equations

x3=5x+y,

y3=5y+x.

Russian entrance examination problem

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A két egyenletet adjuk össze, rendezzük egy oldalra, majd alakítsuk szorzattá:

x3+y3=6x+6y(1a)

x3+y3-6x+6y=0

(x+y)(x2-xy+y2-6)=0.

Ez csak akkor teljesülhet, ha

x+y=0 vagy x2-xy+y2-6=0.(1b)

Hasonlóan, a két egyenlet különbségét véve,

x3-y3=(5x+y)-(5y+x)(2a)

x3-y3-4x+4y=0

(x-y)(x2+xy+y2-4)=0.

x-y=0 vagy x2+xy+y2-4=0.(2b)

Az (1a) és (2a) egyenletek összegét, illetve különbségét véve visszakaphatjuk az eredeti egyenleteket, továbbá az (1a) ekvivalens az (1b)-vel, a (2a) pedig ekvivalens a (2b)-vel. Ezért bármelt (x,y) pár akkor megoldása az eredeti egyenletrendszernek, ha teljesíti (1b)-t és (2b)-t is.

Az (1b) és (2b) feltételeket összesen négy esetre bonthatjuk:

1. eset: x+y és x-y=0.

Ebből x=\frac{(x+y)+(x-y)}2=0 és y=\frac{(x+y)-(x-y)}2=0; ezekre (1b) és (2b) nyilván teljesül.

2. eset: x+y és x2+xy+y2-4=0.

Az első feltétel szerint y=-x. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve, y2=4, vagyis y=\pm2 és x=\mp2. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek teljesítik a két feltételt.

3. eset: x2-xy+y2-6=0 és x-y=0.

A 2. esethez hasonlóan, x=y és y2=6, vagyis x=y=\pm\sqrt6.

Ezek is teljesítik a két feltételt.

4. eset: (3) x2-xy+y2-6=0 és (4) x2+xy+y2-4=0.

A (3) egyenlet 3-szorosából vonjuk ki a (4)-et:

3(x2-xy+y2-6)-(x2+xy+y2-4)=0(5a)

2x2-4xy+2y2-14=0

(x-y)2=7

 x-y = \pm\sqrt7  (5b)

Most a (4) 3-szorosából vonjuk ki (3)-at:

3(x2+xy+y2-4)-(x2-xy+y2-6)=0(6a)

2x2+4xy+2y2-6=0

(x+y)2=3

 x+y = \pm\sqrt3  (6b)

Az (5b) és (6b) egyenletekből visszakaphatjuk a (3) és (4) egyenleteket: ha az (5a) 3/8-szorosához hosszáadjuk a (6b) 1/8-szorosát, éppen (3)-at kapjuk, illetve ha az (5a) 1/8-szorosához hosszáadjuk a (6b) 3/8-szorosát, éppen (4)-et kapjuk. Ezért a (3,4) egyenletrendszer ekvivalens az (5a,6a) és a (5b,6b) egyenletrendszerekkel.

A \sqrt7 és a \sqr3 előjelének megválasztásától függően ez összesen 4 újabb alesetet jelent, ezek is mind megoldások: x = \frac{(x+y)+(x-y)}2 = \frac{\pm\sqrt3\pm\sqrt7}2, y = \frac{(x+y)-(x-y)}2 = \frac{\pm\sqrt3\mp\sqrt7}2.

Összefoglalva, az egyenletrendszer megoldásai a következő (x,y) számpárok:


(0,0), ~ (2,-2), ~ (-2,2), ~
\big(\sqrt6,\sqrt6\big), ~ \big(-\sqrt6,-\sqrt6\big),


\bigg(\frac{\sqrt3+\sqrt7}2,\frac{\sqrt3-\sqrt7}2\bigg), ~
\bigg(\frac{\sqrt3-\sqrt7}2,\frac{\sqrt3+\sqrt7}2\bigg), ~
\bigg(\frac{-\sqrt3+\sqrt7}2,\frac{-\sqrt3-\sqrt7}2\bigg), ~
\bigg(\frac{-\sqrt3-\sqrt7}2,\frac{-\sqrt3+\sqrt7}2\bigg).


Statistics:

275 students sent a solution.
4 points:56 students.
3 points:95 students.
2 points:62 students.
1 point:38 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley