Problem B. 4556. (September 2013)
B. 4556. Solve the simultaneous equations
x3=5x+y,
y3=5y+x.
Russian entrance examination problem
(4 pont)
Deadline expired on October 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. A két egyenletet adjuk össze, rendezzük egy oldalra, majd alakítsuk szorzattá:
x3+y3=6x+6y | (1a) |
x3+y3-6x+6y=0
(x+y)(x2-xy+y2-6)=0.
Ez csak akkor teljesülhet, ha
x+y=0 vagy x2-xy+y2-6=0. | (1b) |
Hasonlóan, a két egyenlet különbségét véve,
x3-y3=(5x+y)-(5y+x) | (2a) |
x3-y3-4x+4y=0
(x-y)(x2+xy+y2-4)=0.
x-y=0 vagy x2+xy+y2-4=0. | (2b) |
Az (1a) és (2a) egyenletek összegét, illetve különbségét véve visszakaphatjuk az eredeti egyenleteket, továbbá az (1a) ekvivalens az (1b)-vel, a (2a) pedig ekvivalens a (2b)-vel. Ezért bármelt (x,y) pár akkor megoldása az eredeti egyenletrendszernek, ha teljesíti (1b)-t és (2b)-t is.
Az (1b) és (2b) feltételeket összesen négy esetre bonthatjuk:
1. eset: x+y és x-y=0.
Ebből és ; ezekre (1b) és (2b) nyilván teljesül.
2. eset: x+y és x2+xy+y2-4=0.
Az első feltétel szerint y=-x. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve, y2=4, vagyis y=2 és x=2. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek teljesítik a két feltételt.
3. eset: x2-xy+y2-6=0 és x-y=0.
A 2. esethez hasonlóan, x=y és y2=6, vagyis .
Ezek is teljesítik a két feltételt.
4. eset: (3) x2-xy+y2-6=0 és (4) x2+xy+y2-4=0.
A (3) egyenlet 3-szorosából vonjuk ki a (4)-et:
3(x2-xy+y2-6)-(x2+xy+y2-4)=0 | (5a) |
2x2-4xy+2y2-14=0
(x-y)2=7
(5b) |
Most a (4) 3-szorosából vonjuk ki (3)-at:
3(x2+xy+y2-4)-(x2-xy+y2-6)=0 | (6a) |
2x2+4xy+2y2-6=0
(x+y)2=3
(6b) |
Az (5b) és (6b) egyenletekből visszakaphatjuk a (3) és (4) egyenleteket: ha az (5a) 3/8-szorosához hosszáadjuk a (6b) 1/8-szorosát, éppen (3)-at kapjuk, illetve ha az (5a) 1/8-szorosához hosszáadjuk a (6b) 3/8-szorosát, éppen (4)-et kapjuk. Ezért a (3,4) egyenletrendszer ekvivalens az (5a,6a) és a (5b,6b) egyenletrendszerekkel.
A és a előjelének megválasztásától függően ez összesen 4 újabb alesetet jelent, ezek is mind megoldások: , .
Összefoglalva, az egyenletrendszer megoldásai a következő (x,y) számpárok:
Statistics:
275 students sent a solution. 4 points: 56 students. 3 points: 95 students. 2 points: 62 students. 1 point: 38 students. 0 point: 21 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013