KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4557. Given five points in the plane, no three of which are collinear. Show that it is possible to select three points out of them that form an obtuse-angled triangle.

(4 points)

Deadline expired on 10 October 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat.

1. eset: A pontok egy konvex ötszög csúcsai.

Az ötszög szögeinek összege 540 fok, tehát valamelyik csúcsnál legalább 540/5=108 fokos, tehát tompaszög van. Ez a csúcs a két szomszédjával együtt tompaszögű háromszöget alkot.

2. eset: A pontok konvex burka három- vagy négyszög.

Ha a konvex burok négyszög, akkor az egyik átlóval bontsuk két háromszögre. Legalább az egyik pont (jelöljük X-vel) a konvex burok belsejébe, egyben az (egyik) háromszögbe esik, legyen ez a háromszög ABC. Az AXB, BXC, CXA szögek összege 360 fok, valamelyik legalább 120 fokos. Ezért az AXB, BXC, CXA háromszögek közül legalább az egyik tompaszögű.


Statistics on problem B. 4557.
250 students sent a solution.
4 points:164 students.
3 points:51 students.
2 points:20 students.
1 point:11 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley