A B. 4558. feladat (2013. szeptember)

B. 4558. Az egységnyi alapélű, ABCD négyzet alapú szabályos gúla csúcsa E. Az AB alapél P, továbbá az EC oldalél Q pontjára teljesül, hogy PQ merőleges AB-re is és EC-re is. Tudjuk továbbá, hogy AP:PB=6:1. Mekkorák az oldalélek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle ABCD\) négyzet középpontja, \(\displaystyle R\) a \(\displaystyle DC\) szakasz \(\displaystyle C\) -hez legközelebbi hetedelőpontja, \(\displaystyle S\) pedig a \(\displaystyle Q\) pont merőleges vetülete az \(\displaystyle ABCD\) síkon.

A gúla szabályosságából következően a \(\displaystyle CE\) egyenes merőleges vetülete az \(\displaystyle ABCD\) síkon a \(\displaystyle CO\) egyenes, ezért \(\displaystyle S\) rajta van a \(\displaystyle CO\) egyenesen. Mivel \(\displaystyle AP:PB=6:1\), a \(\displaystyle PR\) egyenes párhuzamos \(\displaystyle BC\)-vel, vagyis merőleges \(\displaystyle AB\)-re. \(\displaystyle PQ\) is merőleges \(\displaystyle AB\)-re, ezért \(\displaystyle AB\) merőleges a \(\displaystyle PQR\) síkra. Tehát az \(\displaystyle AB\)-re merőleges \(\displaystyle QS\) egyenes benne van a \(\displaystyle PQR\) síkban, vagyis \(\displaystyle S\) illeszkedik a \(\displaystyle PR\) egyenesre.

A \(\displaystyle CRS\) háromszög derékszögű és egyenlőszárú, ezért \(\displaystyle RS=1/7\) és \(\displaystyle CS=CR\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{7}\). A \(\displaystyle QSC\) és \(\displaystyle EOC\) háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak. A hasonlóság aránya \(\displaystyle CS:CO=\frac{\sqrt{2}}{7}:\frac{\sqrt{2}}{2}=2:7\). Ha tehát \(\displaystyle CQ=y\), akkor \(\displaystyle CE= \frac{7y}2\).

A \(\displaystyle QSC\) és \(\displaystyle QSP\) derékszögű háromszögekben Pitagorasz tétele szerint

\(\displaystyle QS^2 =CQ^2-CS^2=y^2-\frac{2}{49},\)

\(\displaystyle QP^2 =QS^2+SP^2=\left( y^2-\frac{2}{49}\right) +\left(\frac{6}{7}\right)^{2}= y^2+\frac{34}{49}.\)

Végül a \(\displaystyle PQC\) és \(\displaystyle PBC\) derékszögű háromszögek közös \(\displaystyle PC\) átfogójának négyzetét szintén Pitagorasz tétele szerint felírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle PC^2=CQ^2+QP^2=BC^2+BP^2, \quad \text{azaz} \quad y^2+\left( y^2+\frac{34}{49}\right) =1+\frac{1}{49}. \)

Ezt az egyenletet rendezve \(\displaystyle 2y^2=\frac{16}{49}\), azaz \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{8}}{7}\) adódik.

Tehát a gúla oldaléleinek hossza \(\displaystyle CE= \frac{7y}2=\sqrt{2}\).

Nagy Gergely (Győr, Révai M. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	72 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai