Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4559. (September 2013)

B. 4559. The interior angle bisectors drawn from vertices A, B and C of triangle ABC intersect the circumscribed circle at the points D, E and F, respectively. The intersections of the sides of triangles DEF and ABC, starting from A, towards B, are G, H, I, J, K and L in this order. Show that the triangles DGL, EHI and FKJ are all similar.

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögeit rendre \(\displaystyle 2\alpha\), \(\displaystyle 2\beta\) és \(\displaystyle 2\gamma\). Legyen továbbá \(\displaystyle AD\cap EF=P\), \(\displaystyle BE\cap\, FD=M\) és \(\displaystyle CF\cap DE=N\).

Az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlősége miatt ekkor \(\displaystyle ADE\sphericalangle =ABE\sphericalangle =\beta\), \(\displaystyle DEB\sphericalangle= DAB\sphericalangle =\alpha \) és \(\displaystyle BEF\sphericalangle =BCF\sphericalangle =\gamma\). Tehát a \(\displaystyle DEP\) háromszögben a \(\displaystyle D\)-nél és \(\displaystyle E\)-nél lévő szögek összege \(\displaystyle \beta +(\alpha +\gamma) =90^{\circ}\), ezért a háromszög harmadik szöge derékszög, vagyis \(\displaystyle AD\perp EF\). Ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle BE\perp FD\) és \(\displaystyle CF\perp DE\).

Az \(\displaystyle LAG\) háromszögben tehát az \(\displaystyle A\) csúcsból induló \(\displaystyle AP\) szögfelező merőleges a szemközti oldalra. Ezért \(\displaystyle AP\) a háromszögnek szimmetriatengelye, \(\displaystyle LA=GA\) és \(\displaystyle LP=PG\). Viszont az \(\displaystyle AP\) egyenes \(\displaystyle D\)-n is átmegy, tehát \(\displaystyle LD=DG\), vagyis a \(\displaystyle DGL\) háromszög is egyenlőszárú. Ugyanígy kapjuk, hogy az \(\displaystyle EHI\) és \(\displaystyle FKJ\) háromszögek is egyenlőszárúak, és ezen háromszögek szimmetriatengelye \(\displaystyle BE\), illetve \(\displaystyle CF\).

A háromszögek hasonlóságának belátásához elegendő megmutatnunk, hogy alapon fekvő szögeik egyenlőek. Mivel \(\displaystyle CKD\sphericalangle =CKJ\sphericalangle =90^{\circ} -\gamma\), ezért \(\displaystyle DKL\sphericalangle = 90^{\circ}+\gamma\). Ekkor az \(\displaystyle FDKL\) négyszögben a szemközti szögek összege

\(\displaystyle DKL\sphericalangle +LFD\sphericalangle =DKL\sphericalangle + EFC\sphericalangle + CFD\sphericalangle = 90^{\circ}+\gamma +\beta +\alpha =180^{\circ}, \)

vagyis a négyszög húrnégyszög. E húrnégyszög köréírt körében \(\displaystyle DKF\sphericalangle\) és \(\displaystyle DLF\sphericalangle \) ugyanahhoz a \(\displaystyle DF\) ívhez tartozó kerületi szögek, ezért \(\displaystyle DKF\sphericalangle =DLF\sphericalangle\). Ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle DEGH\) is húrnégyszög, amiből pedig \(\displaystyle DGE\sphericalangle =DHE\sphericalangle \) következik.

Tehát a \(\displaystyle DGL\), \(\displaystyle EHI\) és \(\displaystyle FKJ\) háromszögek olyan egyenlőszárú háromszögek, melyeknek az alapon fekvő szögeik egyenlőek, ezért a háromszögek hasonlóak egymáshoz.

Sándor Krisztián (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

54 students sent a solution.
6 points:Andi Gabriel Brojbeanu, Emri Tamás, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Jákli Aida Karolina, Katona Dániel, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Williams Kada.
5 points:Balogh Tamás, Barna István, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Demeter Dániel, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Horváth 016 Gábor, Juhász 995 Mátyás Péter, Kabos Eszter, Kalló Kristóf, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Nagy Simon József, Németh Flóra Boróka, Páli Petra, Petrényi Márk, Sági Olivér, Szabó 789 Barnabás.
4 points:4 students.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013