KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4560. The network of roads in the city of Icosapolis corresponds to the edge graph of an icosahedron. The home of Iorgos is at one vertex of the icosahedron, while his favourite theater is situated at the opposite vertex. On his way home from the theatre after dark, he stops at every vertex he reaches, and after some hesitation decides which way to proceed. Assume that at any vertex the probability of meeting someone who will show him one possible direction to get him home along the least possible number of edges is p. Otherwise he will chose an edge at random. (He may as well turn back in the direction he came from.) For what value of p is there a 50% chance that he will get home before getting back to the theatre?

Suggested by M. E. Gáspár, Budapest

(6 points)

Deadline expired on 10 October 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A feladat szempontjából az úthálózat gráfjának csúcsai - a kezdeti és végállapoton kívül - kétfélék lehetnek: vagy a színházzal (kiindulási helyzet), vagy pedig a szállással (cél) szomszédosak. Az első esetben 1-es, a másodikban 2-es állapotról beszélünk. A kiindulási helyzetből 1 valószínűséggel közeledik Jorgosz a célhoz, ezért a kezdeti állapotból és az 1-es állapotból ugyanakkora a célba érés valószínűsége. Az 1-es helyzetből egy él visszavisz, kettő ugyanabba az állapotba visz, kettő előre visz a 2-es állapotba. A 2-es állapotból két él ugyanabba az állapotba visz, kettő visszavisz az 1-es állapotba, egy pedig a célba vezet. Ha az 1-es állapotból a célba érés valószínűsége \(\displaystyle x\), a 2-esből \(\displaystyle y\), akkor felírhatók az alábbi egyenletek:

\(\displaystyle x =\left(\frac15\cdot 0+\frac25 x+\frac25 y\right)(1-p)+py,\)

\(\displaystyle y =p\cdot 1+ \left(\frac15\cdot 1+\frac25 x+\frac25 y\right)(1-p).\)

A feltétel szerint \(\displaystyle x=\frac12\), eszerint a 2. egyenlet:

\(\displaystyle y =p+\frac25 (1-p)+(1-p)\frac25 y, \quad\text{amiből}\quad y= %\frac{\lfrac25 +\lfrac35 p}{\lfrac25 p+\lfrac35} = \frac{3p+2}{2p+3}. \)

Az első egyenletbe behelyettesítve \(\displaystyle x\)-et és \(\displaystyle y\)-t:

\(\displaystyle \frac12 =(1-p) \left(\frac15+\frac25\cdot\frac{3p+2}{2p+3}\right) +\frac{3p^2+2p}{2p+3},\)

\(\displaystyle 10p+15 =(1-p) \big(4p+6+4(3p+2)\big)+30p^2+20p, \)

\(\displaystyle 10p+15 =16p+14-16p^2-14p+30p^2+20p, \)

\(\displaystyle 0 =14p^2+12p-1.\)

A két megoldás közül csak a pozitív megoldás jó, mert a valószínűség 0 és 1 közötti szám:

\(\displaystyle p=\frac{-12+\sqrt{12^2+4\cdot14}}{28}=\frac{-6+5\sqrt2}{14}\approx 0{,}0765. \)

Tehát ha \(\displaystyle p\approx 0{,}0765\), akkor 0,5 valószínűséggel eléri Jorgosz a célt.

Kaprinai Balázs (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn. és Ált. Isk., 12. évf.)


Statistics on problem B. 4560.
55 students sent a solution.
6 points:Babik Bálint, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kalló Kristóf, Kaprinai Balázs, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 162 Viktória, Kovács-Deák Máté, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Talyigás Gergely, Vályi András, Williams Kada.
5 points:Ágoston Péter, Nemes György.
4 points:1 student.
3 points:1 student.
1 point:19 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley