KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4562. (October 2013)

B. 4562. In a right-angled triangle ABC, a semicircle is drawn over the leg AC, on the side where the triangle lies. A tangent is drawn to the semicircle at the point E where it intersects the hypotenuse. The tangent intersects the leg BC at point D. Prove that triangle EBD is isosceles.

(3 pont)

Deadline expired on 11 November 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A Thálész-tétel miatt CEA\angle=90o. Az ACE és CBA szögek merőleges szárú hegyesszögek, így egyenlők: ACE\angle=CBA\angle. Az ACE körben a BED\angle érintő szárú kerületi szög, ami megegyezik az ACE szöggel. Összefoglalva,

DBE\angle=CBA\angle=ACE\angle=BED\angle.

Az EBD háromszög B-nél és E-nél levő szögei megegyeznek, a háromszög egyenlő szárú.

2. megoldás. Legyen k1 és k2 az AC, illetve a BC átmérőjű kör. A Thálész tétel miatt CE merőleges az AB oldalra. a Tálész-tétel megfordítása miatt a k2 kör is átmegy az E ponton. A D pontból k1-hez húzott DC és DE érintők ugyanolyan hosszúak, ezért D rajta van CE felező merőlegesén. Ugyanakkor a BC szakasz a k2 kör átmérője, így D a k2 középpontja. Tehát DB és DE a k2 kör két sugara, amik egyenlőek.


Statistics:

329 students sent a solution.
3 points:313 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley