Problem B. 4563. (October 2013)

B. 4563. Solve the equation $\sqrt{x+14-\sqrt{4x-8}} - \sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}} = 3$ .

Suggested by D. Fülöp, Pécs

(3 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat.

Legyen $y=\sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}}$ , ahol nyilván y $\ge$ 0. Ezzel a helyettesítéssel $\sqrt{x+14-\sqrt{4x-8}}=\sqrt{y^2+15}$ , és az egyenlet

$\sqrt{y^2+15}-y=3.$

A négyzetgyököt a baloldalra, a többitagot a jobboldalra rendezve és négyzetre emelve

$\sqrt{y^2+15}=y+3$

y²+15=y²+6y+9

y=-1,

vagyis csak azok az x-ek lehetnek megoldások, amikre

$\sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}} = y = 1.$

Négyzetre emelve,

$x-1-\sqrt{4x-8} = 1$

$\sqrt{4x-8} = x-2$

$2\sqrt{x-2} = \big(\sqrt{x-2}\big)^2$

$\sqrt{x-2}\big(\sqrt{x-2}-2\big)=0$

$\sqrt{x-2}=0 \quad\mathrm{vagy}\quad \sqrt{x-2}=2$

$x=2 \quad\mathrm{vagy}\quad x=6.$

Behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy x=2 és x=6 is valóban megoldása az egyenletnek.

Statistics:

298 students sent a solution.

3 points: 186 students.

2 points: 65 students.

1 point: 29 students.

0 point: 16 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

298 students sent a solution.
3 points:	186 students.
2 points:	65 students.
1 point:	29 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?