Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4565. (October 2013)

B. 4565. Find all positive integers for which \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}.

(XXII. Hungarian Mathematics Competition of Transsylvania)

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük az egyenletben az egyik oldalra az \frac2{\sqrt{y}} tagot, szorozzunk be \sqrt{2xy}-szal, majd emeljük négyzetre:

 \frac2{\sqrt{y}} = \frac1{\sqrt2} - \frac3{\sqrt{x}}

 2\sqrt{2x} = \sqrt{xy}-3\sqrt{2y}

 8x = xy - 6y\sqrt{2x} + 18y.

Láthatjuk, hogy \sqrt{2x} racionális, ami csak úgy lehetséges, ha x egy négyzetszám kétszerese: x=2a2 valamilyen pozitív egész a-val.

Most rendezzük az egyik oldalra a \frac3{\sqrt{x}} tagot, szorozzunk be \sqrt{2xy}-szal, majd emeljük négyzetre:

 \frac3{\sqrt{x}} = \frac1{\sqrt2} - \frac2{\sqrt{y}}

 3\sqrt{2y} = \sqrt{xy}-2\sqrt{2x}

 18y = xy -4x\sqrt{2y} + 8x.

Ebből azt láthatjuk, hogy \sqrt{2y} racionális, azaz y egy négyzetszám kétszerese, y=2b2 valamilyen pozitív egész b-vel.

Az egyenletet írjuk át az a,b változókra:

 \frac{3}{\sqrt{2a^2}} + \frac{2}{\sqrt{2b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},

 \frac3a + \frac2b = 1.

Szorozzunk be ab-vel, és rendezzük úgy az egyenletet, hogy az a,b változókat tartalmazó tagok teljes szorzatot alkotssanak:

3b+2a=ab

6=ab-2a-3b+6

6=(a-3)(b-2).

A 6 lehetséges szorzattá alakításaiből a következő megoldásokat kapjuk:

a-3 b-2 a b x y
6 1 9 3 162 18
3 2 6 4 72 32
2 3 5 5 50 50
1 6 4 8 32 128
-6 -1 -3 1 Nem adnak megoldást
-3 -2 0 0
-2 -3 1 -1
-1 -6 2 -4

Tehát az egyenlet negoldásai a következő számpárok: (32,128), (50,50), (72,32), (162,18).

Megjegyzés. Nem nehéz különböző alsó és felső becsléseket találni az x és y változókra. Például a baloldalon álló tagok külön-külön kisebbek, mint a jobboldal: \frac{3}{\sqrt{x}} < \frac{1}{\sqrt{2}} és \frac{2}{\sqrt{y}} < \frac{1}{\sqrt{2}}, ebből látható, hogy x\ge19 és y\ge9. Az is látható, hogy x és y valamelyike legfeljebb 50. Innen kezdve akár azt is megtehetnénk, hogy végigpróbáljuk az x=19,20,...,50 és y=9,10,...,50 eseteket.


Statistics:

160 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:10 students.
2 points:22 students.
1 point:19 students.
0 point:13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013