KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4565. (October 2013)

B. 4565. Find all positive integers for which \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}.

(XXII. Hungarian Mathematics Competition of Transsylvania)

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük az egyenletben az egyik oldalra az \frac2{\sqrt{y}} tagot, szorozzunk be \sqrt{2xy}-szal, majd emeljük négyzetre:

 \frac2{\sqrt{y}} = \frac1{\sqrt2} - \frac3{\sqrt{x}}

 2\sqrt{2x} = \sqrt{xy}-3\sqrt{2y}

 8x = xy - 6y\sqrt{2x} + 18y.

Láthatjuk, hogy \sqrt{2x} racionális, ami csak úgy lehetséges, ha x egy négyzetszám kétszerese: x=2a2 valamilyen pozitív egész a-val.

Most rendezzük az egyik oldalra a \frac3{\sqrt{x}} tagot, szorozzunk be \sqrt{2xy}-szal, majd emeljük négyzetre:

 \frac3{\sqrt{x}} = \frac1{\sqrt2} - \frac2{\sqrt{y}}

 3\sqrt{2y} = \sqrt{xy}-2\sqrt{2x}

 18y = xy -4x\sqrt{2y} + 8x.

Ebből azt láthatjuk, hogy \sqrt{2y} racionális, azaz y egy négyzetszám kétszerese, y=2b2 valamilyen pozitív egész b-vel.

Az egyenletet írjuk át az a,b változókra:

 \frac{3}{\sqrt{2a^2}} + \frac{2}{\sqrt{2b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},

 \frac3a + \frac2b = 1.

Szorozzunk be ab-vel, és rendezzük úgy az egyenletet, hogy az a,b változókat tartalmazó tagok teljes szorzatot alkotssanak:

3b+2a=ab

6=ab-2a-3b+6

6=(a-3)(b-2).

A 6 lehetséges szorzattá alakításaiből a következő megoldásokat kapjuk:

a-3 b-2 a b x y
6 1 9 3 162 18
3 2 6 4 72 32
2 3 5 5 50 50
1 6 4 8 32 128
-6 -1 -3 1 Nem adnak megoldást
-3 -2 0 0
-2 -3 1 -1
-1 -6 2 -4

Tehát az egyenlet negoldásai a következő számpárok: (32,128), (50,50), (72,32), (162,18).

Megjegyzés. Nem nehéz különböző alsó és felső becsléseket találni az x és y változókra. Például a baloldalon álló tagok külön-külön kisebbek, mint a jobboldal: \frac{3}{\sqrt{x}} < \frac{1}{\sqrt{2}} és \frac{2}{\sqrt{y}} < \frac{1}{\sqrt{2}}, ebből látható, hogy x\ge19 és y\ge9. Az is látható, hogy x és y valamelyike legfeljebb 50. Innen kezdve akár azt is megtehetnénk, hogy végigpróbáljuk az x=19,20,...,50 és y=9,10,...,50 eseteket.


Statistics:

168 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:10 students.
2 points:22 students.
1 point:19 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley