Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4566. (October 2013)

B. 4566. The squares ABDE, BCFG and CAHI are drawn over the sides of a triangle ABC, on the outside. The triangles DBG, FCI and HAE are completed to form the parallelograms DBGJ, FCIK and HAEL. Prove that .

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy $\displaystyle \overrightarrow{v}$ vektor $\displaystyle 90^{\circ}$-kal való elforgatottját jelölje $\displaystyle \overrightarrow{v}'$, egy $\displaystyle P$ pontét pedig $\displaystyle P'$.

Ekkor

$\displaystyle \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IK}= -\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{BC}',$

amiből

$\displaystyle \overrightarrow{AK}'=(-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{BC}')'= (-\overrightarrow{CA})'+(\overrightarrow{CA}')'+(\overrightarrow{BC}')'= -\overrightarrow{CA}'-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}.$

Felírható, hogy $\displaystyle \overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'$.

Tudjuk, hogy $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$, és így $\displaystyle (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})' =\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'+\overrightarrow{CA}'=\overrightarrow{0}'=\overrightarrow{0}$, így $\displaystyle \overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'=-\overrightarrow{CA}'$ és $\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BC} -\overrightarrow{CA}$, tehát $\displaystyle \overrightarrow{AK}'=\overrightarrow{AJ}$. Tehát a $\displaystyle K$ pont $\displaystyle A$ körüli $\displaystyle -90^{\circ}$-os elforgatottja a $\displaystyle J$ pont, a $\displaystyle B$ pont elforgatottja az $\displaystyle E$ pont, ezért az $\displaystyle AKB\triangle$ elforgatottja az $\displaystyle AJE\triangle$. Emiatt $\displaystyle AKB\sphericalangle=AJE\sphericalangle$.

Hasonlóan belátható, hogy a $\displaystyle BLC\triangle$ $\displaystyle C$ körüli $\displaystyle +90^{\circ}$-os elforgatottja az $\displaystyle FJC\triangle$, ami miatt $\displaystyle BLC\sphericalangle=FJC\sphericalangle$.

Tehát $\displaystyle AKB\sphericalangle+BLC\sphericalangle+CJA\sphericalangle=AJE\sphericalangle+FJC\sphericalangle+CJA\sphericalangle=FJE\sphericalangle$. Erről kéne belátni, hogy $\displaystyle 90^{\circ}$. Mivel $\displaystyle \overrightarrow{JE}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE}$, így $\displaystyle \overrightarrow{JE}'=(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE})'=(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DE})'= \overrightarrow{GB}'+\overrightarrow{DE}'=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{GF}+ \overrightarrow{JG}=\overrightarrow{JF}$. Tehát az $\displaystyle F$ pont az $\displaystyle E$ pont $\displaystyle J$ körüli $\displaystyle -90^{\circ}$-os elforgatottja. Ezzel beláttuk, hogy $\displaystyle FJE\sphericalangle=90^{\circ}$, a bizonyítást befejeztük.

### Statistics:

 98 students sent a solution. 5 points: Balogh Tamás, Barabás Ábel, Di Giovanni Márk, Egyházi Anna, Fekete Panna, Geng Máté, Kabos Eszter, Kocsis Júlia, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Schwarcz Tamás, Varga Rudolf, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada. 4 points: 57 students. 3 points: 9 students. 2 points: 3 students. 1 point: 6 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013