KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4567. Determine all functions f\colon \mathbb{R} \backslash \{0, 1\} \to \mathbb{R} such that f\left(\frac{x-1}{x}\right) +f\left(\frac{1}{1-x}\right)=2-2x.

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 points)

Deadline expired on 11 November 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}\) számra

\(\displaystyle \tag{1} f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)+f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)=2-2x_{0}.\)

Helyettesítsük most az eredeti egyenletben \(\displaystyle x\) helyébe az \(\displaystyle \dfrac{1}{1-x_{0}}\in \mathbb{R}\setminus \{0, 1\}\) számot:

\(\displaystyle \tag{2} f \left(\frac{\frac{1}{1-x_{0}}-1}{\frac{1}{1-x_{0}}}\right)+ f\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x_{0}}}\right) = f (1-1+x_{0})+ f\left(\frac{1-x_{0}}{1-x_{0}-1}\right)= \)

\(\displaystyle = f(x_{0})+ f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)=2-2\cdot \frac{1}{1-x_{0}}.\)

Most pedig alkalmazzunk \(\displaystyle x=\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\) helyettesítést.

\(\displaystyle \tag{3} f\left(\frac{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}-1}{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) +f\left(\frac{1}{1-\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) =f\left(\frac{x_{0}-1-x_{0}}{x_{0}-1}\right) +f\left(\frac{x_{0}}{x_{0}-x_{0}+1}\right)= \)

\(\displaystyle = f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)+ f (x_{0})=2-2\cdot \frac{x_{0}-1}{x_{0}}.\)

A \(\displaystyle (2)\) és \(\displaystyle (3)\) egyenletek összegéből vonjuk ki az eredeti \(\displaystyle (1)\) egyenletet, majd osszunk 2-vel és írjunk az egyenletben \(\displaystyle x_{0}\) helyett \(\displaystyle x\)-et.

\(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}. \)

Az eredeti függvényegyenletbe helyettesítve ellenőrízhető, hogy ez a függvény valóban megoldás is:

\(\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+ f\left(\frac{1}{1-x}\right)= \)

\(\displaystyle = \frac{x-1}{x} +\frac{x}{x-1} +\frac{1}{\frac{x-1}{x}-1} +\frac{1}{1-x}+(1-x) +\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}= \)

\(\displaystyle = \frac{x-1}{x}+1-x+(1-x)+\frac{1-x}{x}=2-2x.\)

Szabó Tímea (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján


Statistics on problem B. 4567.
98 students sent a solution.
5 points:53 students.
4 points:31 students.
3 points:5 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley