A B. 4568. feladat (2013. október)

B. 4568. Egy börtönben n rab tartózkodik. Az unatkozó börtönőrök azt találják ki, hogy az udvaron mindegyik rab fejére piros vagy kék sapkát tesznek úgy, hogy senki se lássa, a saját fejére milyen színű kerül. Miután a rabok jól megnézték egymást (minden rab a sajátján kívül az összes többi rab sapkáját látja), mindegyiküknek le kell írnia egy-egy lapra, hogy milyen színű sapka van a fején. Ha mindegyikük válasza helyes, kiengedik őket az udvarra. Milyen stratégiában állapodjanak meg a rabok, hogy minél nagyobb valószínűséggel kimehessenek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha az őrök az egyes rabok sapkáját egymástól függetlenül választják meg 1/2 - 1/2 valószínűséggel, akkor már egyetlen rab is csak 1/2 eséllyel találja ki a saját sapkaszínét, függetlenül a rabok stratégiájától.

Azt viszont a rabok elérhetik, hogy egyszerre nyerjenek vagy veszítsenek, mégpedig az őrök stratégiájától függetlenül 1/2 eséllyel.

Nevezzük páros-piros stratégiának azt, hogy mindenki akkor tippel pirosra, ha a többieken páratlan számú piros sapkát lát; így ha összesen páros számú piros sapkájuk van, akkor midegyikük jól fog tippelni, ellenkező esetben mindegyikük rosszul tippel. Hasonlóan, nevezzük páratlan-piros stratégiának azt, hogy mindenki akkor tippel pirosra, ha a többieken páros számú piros sapkát lát; így ha összesen páratlan számú piros sapkájuk van, akkor nyernek.

A játék előtt a rabok kisorsolják, hogy a páros-piros vagy a páratlan-piros stratégiát fogják követni. Ezzel elérhetik, hogy 1/2 eséllyel nyerjenek.

Statisztika:

145 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Badacsonyi István András, Csernák Tamás, Fonyó Viktória, Szebellédi Márton.
4 pontot kapott:	64 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	46 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai