KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4571. Given that the events A2,A3,...,An are independent and P(A_i)=\frac{1}{2i^2}. What is the probability that an odd number of events occur out of A2,A3,...,An?

(6 points)

Deadline expired on 11 November 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be. Definiáljuk az X2,...,Xn valószínűségi változókat a következőképpen: legyen Xi=-1, ha Ai bekövetkezik, illetve Xi=+1, ha Ai nem következik be.

Az X2X3...Xn szorzat értéke pontosan akkor -1, ha A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be, ellenkező esetben a szorzat +1. A szorzat várható értéke ezért

E(X2X3...Xn...)=p.(-1)+(1-p).(+1)=1-2p.(1)

Független változók szorzatának várható értékét tényezőnként is kiszámíthatjuk, ezért


E\big(X_2X_3\dots X_n\big) =
\prod_{i=2}^n E(X_i) =
\prod_{i=2}^n \Big(P(A_i)\cdot(-1)+(1-P(A_i))\cdot(+1)\Big) =
\prod_{i=2}^n \big(1-2P(A_i)\big) =


= \prod_{i=2}^n \bigg(1-\frac1{i^2}\bigg) = 
\prod_{i=2}^n \frac{(i-1)(i+1)}{i^2} =
\frac{(1\cdot3)\cdot(2\cdot4)\dots\big((n-1)(n+1)\big)}{2^2\cdot3^2\dots n^2} = \frac{n+1}{2n}.  (2)

Az (1) és (2) összevetéséből


p = \frac{n-1}{4n}.


Statistics on problem B. 4571.
41 students sent a solution.
6 points:Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás.
5 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Fekete Panna, Frank György, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Halácsy Gergely, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 246 Benedek, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Seress Dániel, Szécsi Péter, Talyigás Gergely, Thamó Emese, Williams Kada.
4 points:2 students.
3 points:1 student.
2 points:3 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley