Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4571. (October 2013)

B. 4571. Given that the events A2,A3,...,An are independent and P(A_i)=\frac{1}{2i^2}. What is the probability that an odd number of events occur out of A2,A3,...,An?

(6 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be. Definiáljuk az X2,...,Xn valószínűségi változókat a következőképpen: legyen Xi=-1, ha Ai bekövetkezik, illetve Xi=+1, ha Ai nem következik be.

Az X2X3...Xn szorzat értéke pontosan akkor -1, ha A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be, ellenkező esetben a szorzat +1. A szorzat várható értéke ezért

E(X2X3...Xn...)=p.(-1)+(1-p).(+1)=1-2p.(1)

Független változók szorzatának várható értékét tényezőnként is kiszámíthatjuk, ezért


E\big(X_2X_3\dots X_n\big) =
\prod_{i=2}^n E(X_i) =
\prod_{i=2}^n \Big(P(A_i)\cdot(-1)+(1-P(A_i))\cdot(+1)\Big) =
\prod_{i=2}^n \big(1-2P(A_i)\big) =


= \prod_{i=2}^n \bigg(1-\frac1{i^2}\bigg) = 
\prod_{i=2}^n \frac{(i-1)(i+1)}{i^2} =
\frac{(1\cdot3)\cdot(2\cdot4)\dots\big((n-1)(n+1)\big)}{2^2\cdot3^2\dots n^2} = \frac{n+1}{2n}.  (2)

Az (1) és (2) összevetéséből


p = \frac{n-1}{4n}.


Statistics:

41 students sent a solution.
6 points:Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás.
5 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Fekete Panna, Frank György, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Halácsy Gergely, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 246 Benedek, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Seress Dániel, Szécsi Péter, Talyigás Gergely, Thamó Emese, Williams Kada.
4 points:2 students.
3 points:1 student.
2 points:3 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013