KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4572. (November 2013)

B. 4572. Solve the following simultaneous inequalities on the set of pairs of integers: 11>2a-b, 25>2b-a, 42<3b-a and 46<2a+b.

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Mivel mindenhol egész számokról van szó, az egyenlőtlenségeket átírhatjuk úgy, hogy az egyenlőséget is megengedjük; ehhez a megfelelő konstanst kell 1-gyel növelnünk vagy csökkentenünk, az egyenlőtlenség irányától függően:

10\ge2a-b,(1)
24\ge2b-a,(2)
43\le3b-a,(3)
47\le2a+b.(4)

Az (1) és (2) alapján

3a=2(2a-b)+(2b-a)\le2.10+24=44,

a\le14.(5)

Hasonlóan,

3b=(2a-b)+2(2b-a)\le10+2.24=58,

b\le19.(6)

Az (5)-öt és (6)-ot beírva (4)-be,

47\le2a+b\le2.14+19=47.

Ez csak úgy lehetséges, ha a=14 és b=19.

Behelyettesítéssel ellenőrizük, hogy a (14,19) számpárra valóban teljesülnek a kívánt egyenlőtlenségek:

2a-b=2.14-19=9<11,

2b-a=2.19-14=24<25,

3b-a=3.19-14=43>42,

végül

2a+b=2.14+19=47>46.

Az egyenlőtlenségrendszer egyetlen megoldása tehát a (14,19) pár.

2. (grafikus) megoldás, vázlat:


Statistics:

229 students sent a solution.
3 points:166 students.
2 points:13 students.
1 point:11 students.
0 point:28 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley