KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4574. (November 2013)

B. 4574. Solve the simultaneous equations

x+y+z&=1,

ax+by+cz=d,

a2x+b2y+c2z=d2,

where a, b, c, d are distinct real parameters.

Matlap, Kolozsvár, 2013

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Végeredmény: Az egyenletrendszer akkor oldható meg egyértelműen, ha az a,b,c paraméterek különbözőek. A megoldás:


x = \frac{(d-b)(d-c)}{(a-b)(a-c)}, \quad
y = \frac{(d-a)(d-c)}{(b-a)(b-c)}, \quad
z = \frac{(d-a)(d-b)}{(c-a)(c-b)}.

Megjegyzés. A megoldást a Cramer-szabállyal felírva, mindhárom ismeretlen két. úgynevezett Vandermonde-determináns hányadosa lesz. pl,


x = \frac{
\left|\matrix{1&1&1\cr d&b&c\cr d^2&b^2&c^2}\right|}{
\left|\matrix{1&1&1\cr a&b&c\cr a^2&b^2&c^2}\right|} =
\frac{(b-d)(c-d)(c-b)}{(b-a)(c-a)(c-b)}.


Statistics:

121 students sent a solution.
4 points:94 students.
3 points:12 students.
2 points:3 students.
1 point:4 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley