KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4576. (November 2013)

B. 4576. Six distinct points lie on a circle. Three points are selected, and the orthocentre of their triangle is connected to the centroid of the triangle formed by the other three points. Prove that all line segments obtained in this way are concurrent.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A pontokat azonosítani fogjuk a kör kézppontjából induló helyvektoraikkal. Legyen a hat pont a,b,c,d,e,f. Azt fogjuk megmutatni, hogy a kiválasztott magasság- és súlypontot összekötő egyenes átmegy az \frac14(a+b+c+d+e+f) ponton.

Az a,b,c,d,e,f pontok szerepe szimmetrikus, ezért feltehetjük, hogy az abc háromszög m=a+b+c magasságpontját kötjük össze a def háromszög s=\frac13(d+e+f) súlypontjával.

Az ms szakaszt 3:1 arányban osztó pont éppen


\frac14m + \frac34s = \frac14(a+b+c+d+e+f) = x.

Az ms egyenes tehát valóban átmegy az x ponton. (Ha m és s egybeesik, akkor x=m=s.


Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Csanálosi Balázs, Csépai András, Di Giovanni Márk, Egyházi Anna, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Simon József, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Ratkovics Gábor, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Williams Kada, Zarándy Álmos.
4 points:Babik Bálint, Balog Gergely, Boguszlavszkij Gergely, Bus Tamás, Gracia Dániel, Győrfi-Bátori András, Hajdók Bence, Herczeg József, Kovács 972 Márton, Lajos Hanka, Mócsy Miklós, Sütő Máté, Vető Bálint.
3 points:5 students.
2 points:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley