KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4576. Six distinct points lie on a circle. Three points are selected, and the orthocentre of their triangle is connected to the centroid of the triangle formed by the other three points. Prove that all line segments obtained in this way are concurrent.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. A pontokat azonosítani fogjuk a kör kézppontjából induló helyvektoraikkal. Legyen a hat pont a,b,c,d,e,f. Azt fogjuk megmutatni, hogy a kiválasztott magasság- és súlypontot összekötő egyenes átmegy az \frac14(a+b+c+d+e+f) ponton.

Az a,b,c,d,e,f pontok szerepe szimmetrikus, ezért feltehetjük, hogy az abc háromszög m=a+b+c magasságpontját kötjük össze a def háromszög s=\frac13(d+e+f) súlypontjával.

Az ms szakaszt 3:1 arányban osztó pont éppen


\frac14m + \frac34s = \frac14(a+b+c+d+e+f) = x.

Az ms egyenes tehát valóban átmegy az x ponton. (Ha m és s egybeesik, akkor x=m=s.


Statistics on problem B. 4576.
52 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Csanálosi Balázs, Csépai András, Di Giovanni Márk, Egyházi Anna, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Simon József, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Ratkovics Gábor, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Williams Kada, Zarándy Álmos.
4 points:Babik Bálint, Balog Gergely, Boguszlavszkij Gergely, Bus Tamás, Gracia Dániel, Győrfi-Bátori András, Hajdók Bence, Herczeg József, Kovács 972 Márton, Lajos Hanka, Mócsy Miklós, Sütő Máté, Vető Bálint.
3 points:5 students.
2 points:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley