Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4577. (November 2013)

B. 4577. Solve the following equation:


\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}=30.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyen a=\root{5}\of{39-x} és b=\root{5}\of{x-6}. Ekkor

a5+b5=33,(1)

és az egyenletbe behelyettesítve


\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}=
\frac{a^5b-ba^5}{a-b} = a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4 = 30.  (2)

A konstanst elimináljuk úgy, hogy (1) 10-szereséből kivonjuk (2) 11-szeresét:

10(a5+b5)-11(a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=0

(a+b)(a-2b)(2a-b)(5a2+2ab+5b2)=0.

Valamelyik tényező 0, tehát a=-b, a=2b, vagy b=2a. (Az 5a2+2ab+5b2=0 esetben a=b=0, ilyenkor a többi három ténytező is eltűnik.)

Ezeket behelyettesítve (1)-be, a=-b nem ad megoldást, az a=2b esetben a=2, b=1 és x=7, a b=2a esetben a=1, b=2 és x=38 adódik. Az egyenletbe belyettesítéssel ellenőrizzük, hogy ezek valóban megoldások. A két megoldás tehát: x1=7, x2=38.


Statistics:

99 students sent a solution.
5 points:Andó Angelika, Balogh Tamás, Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Juhász Kristóf, Khayouti Sára, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Leipold Péter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Pap-Takács Mónika, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Seress Dániel, Simkó Irén, Tóth Adrián, Tulassay Zsolt, Varga 123 Péter, Viharos Loránd Ottó, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 points:11 students.
3 points:10 students.
2 points:18 students.
1 point:12 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013