KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4577. Solve the following equation:


\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}=30.

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Legyen a=\root{5}\of{39-x} és b=\root{5}\of{x-6}. Ekkor

a5+b5=33,(1)

és az egyenletbe behelyettesítve


\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}=
\frac{a^5b-ba^5}{a-b} = a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4 = 30.  (2)

A konstanst elimináljuk úgy, hogy (1) 10-szereséből kivonjuk (2) 11-szeresét:

10(a5+b5)-11(a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=0

(a+b)(a-2b)(2a-b)(5a2+2ab+5b2)=0.

Valamelyik tényező 0, tehát a=-b, a=2b, vagy b=2a. (Az 5a2+2ab+5b2=0 esetben a=b=0, ilyenkor a többi három ténytező is eltűnik.)

Ezeket behelyettesítve (1)-be, a=-b nem ad megoldást, az a=2b esetben a=2, b=1 és x=7, a b=2a esetben a=1, b=2 és x=38 adódik. Az egyenletbe belyettesítéssel ellenőrizzük, hogy ezek valóban megoldások. A két megoldás tehát: x1=7, x2=38.


Statistics on problem B. 4577.
99 students sent a solution.
5 points:Andó Angelika, Balogh Tamás, Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Juhász Kristóf, Khayouti Sára, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Leipold Péter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Pap-Takács Mónika, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Seress Dániel, Simkó Irén, Tóth Adrián, Tulassay Zsolt, Varga 123 Péter, Viharos Loránd Ottó, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 points:11 students.
3 points:10 students.
2 points:18 students.
1 point:12 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley