KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4578. (November 2013)

B. 4578. A certain cyclic quadrilateral is also a circumscribed quadrilateral. Given three sides, construct the quadrilateral.

Suggested by A. Faragó András and T. Káspári, Paks

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyen a három adott oldal a,b,c, a negyedik, ismeretlen oldal d. Mivel a négyszög érintőnégyszög, a+c=b+d, azaz d=a+c-b. Ha a+c\leb, akkor a kívánt négyszög nem létezik. A továbbiakban feltesszük, hogy a+c>b; ekkor a d=a+c-b>0 távolságot megszerkeszthetjük.

Ismert, hogy ha a egy húrnégyszög oldalai a,b,c,d, félkerülete s=\frac{a+b+c+d}2, a köré írt kör sugara r, akkor

 r = \frac14\sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.

A képlet alapján megszerkeszthető előbb a sugár, majd a négyszög.

A keresett négyszög akkor és csak akkor létezik, ha a+c>b, és egybevágóság erejéig egyértelmű.


Statistics:

71 students sent a solution.
5 points:Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Williams Kada.
4 points:Boguszlavszkij Gergely, Csernák Tamás, Demeter Dániel, Herczeg József, Kuchár Zsolt, Lengyel Ádám, Machó Bónis, Mócsy Miklós, Nemes György, Pap Tibor, Petrényi Márk, Ratkovics Gábor, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sütő Máté, Szabó 789 Barnabás, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Tulassay Zsolt, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Zsók Bianka.
3 points:10 students.
2 points:3 students.
1 point:9 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley