Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4578. (November 2013)

B. 4578. A certain cyclic quadrilateral is also a circumscribed quadrilateral. Given three sides, construct the quadrilateral.

Suggested by A. Faragó András and T. Káspári, Paks

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyen a három adott oldal a,b,c, a negyedik, ismeretlen oldal d. Mivel a négyszög érintőnégyszög, a+c=b+d, azaz d=a+c-b. Ha a+c\leb, akkor a kívánt négyszög nem létezik. A továbbiakban feltesszük, hogy a+c>b; ekkor a d=a+c-b>0 távolságot megszerkeszthetjük.

Ismert, hogy ha a egy húrnégyszög oldalai a,b,c,d, félkerülete s=\frac{a+b+c+d}2, a köré írt kör sugara r, akkor

 r = \frac14\sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.

A képlet alapján megszerkeszthető előbb a sugár, majd a négyszög.

A keresett négyszög akkor és csak akkor létezik, ha a+c>b, és egybevágóság erejéig egyértelmű.


Statistics:

70 students sent a solution.
5 points:Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Williams Kada.
4 points:Boguszlavszkij Gergely, Csernák Tamás, Demeter Dániel, Herczeg József, Kuchár Zsolt, Lengyel Ádám, Machó Bónis, Mócsy Miklós, Nemes György, Pap Tibor, Petrényi Márk, Ratkovics Gábor, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sütő Máté, Szabó 789 Barnabás, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Tulassay Zsolt, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Zsók Bianka.
3 points:10 students.
2 points:3 students.
1 point:9 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013