KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4580. The sides of a triangle form a geometric progression, and its angles form an arithmetic progression. Prove that the triangle is equilateral.

(3 points)

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalalai a\leb\lec, a szemközti szögek \alpha,\beta,\gamma. Mivel az oldalak és a velük szemközti szögek rendezése azonos (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik), \alpha\le\beta\le\gamma.

A szögek akkor alkotnak számtani sorozatot, ha 2\beta=\alpha+\gamma, azaz

3\beta=\alpha+\beta+\gamma=180o

\beta=60o.

A koszinusztételt felírva a b oldalra,

b2=a2+c2-2accos 60o=a2+c2-ac.(1)

A b oldal az oldalak között a középső, azaz b a másik két oldal mértani közepe:

b2=ac.(2)

Az (1) és (2) egybevetéséből

a2+c2-ac=ac

(a-c)2=0

a=c.

Tehát, a háromszög legkisebb és legnagyobb oldala ugyanolyan hosszú, a háromszög szabályos.


Statistics on problem B. 4580.
179 students sent a solution.
3 points:144 students.
2 points:12 students.
1 point:11 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley