KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4580. (November 2013)

B. 4580. The sides of a triangle form a geometric progression, and its angles form an arithmetic progression. Prove that the triangle is equilateral.

(3 pont)

Deadline expired on 10 December 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalalai a\leb\lec, a szemközti szögek \alpha,\beta,\gamma. Mivel az oldalak és a velük szemközti szögek rendezése azonos (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik), \alpha\le\beta\le\gamma.

A szögek akkor alkotnak számtani sorozatot, ha 2\beta=\alpha+\gamma, azaz

3\beta=\alpha+\beta+\gamma=180o

\beta=60o.

A koszinusztételt felírva a b oldalra,

b2=a2+c2-2accos 60o=a2+c2-ac.(1)

A b oldal az oldalak között a középső, azaz b a másik két oldal mértani közepe:

b2=ac.(2)

Az (1) és (2) egybevetéséből

a2+c2-ac=ac

(a-c)2=0

a=c.

Tehát, a háromszög legkisebb és legnagyobb oldala ugyanolyan hosszú, a háromszög szabályos.


Statistics:

179 students sent a solution.
3 points:144 students.
2 points:12 students.
1 point:11 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley