Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4581. (November 2013)

B. 4581. Given two perpendicular skew lines and an acute angle \alpha, determine the number of lines that intersect both given lines and encloses an angle of \alpha with each.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyen a két kitérő egyenes a és b, a keresett harmadik egyenes c; az egyenesek egy-egy egységnyi hosszúságú irányvektora a, b, illetve c. A feltétel szerint a és c szöge, illetve b és c szöge is \alpha vagy \pi-\alpha. Ábrázoljuk a vektorokat az egységgömbön. Azok a vektorok, amiknek az a vektorral bezárt szöge \alpha vagy \pi-\alpha, egy a és egy -a középpontú, \alpha sugarú körön vannak. Hasonlóan, azok a vektorok, amiknek a b vektorral bezárt szöge \alpha vagy \pi-\alpha, egy b és egy -b középpontú, \alpha sugarú körön vannak. A c vektor e két halmaz metszetében van.

A gömbön az a és a b távolsága \pi/2. Ha tehát \alpha<\pi/4, akkor a két halmaznak nincs közös pontja, tehát nem létezik a kiívánt c egyenes sem.

Ha \alpha=\pi/4, akkor a két halmaznak 4 közös pontja van, és az a, b és c vektorok egy síkba esnek. Ez viszont nem lehetséges, mert ekkor az a,b,c egyeneseknek is egy síkba kellene esnie.

Ha \pi/4<\alpha<\pi/2, akkor a két halmaznak 8 közös pontja van, és az a, b és c vektorok lineárisan függetlenek. Ilyenkor az az a és b egyenesek és a c vektor egyértelműen meghatározzák a c egyenes helyzetét: az a egyenes és a c vektor egyértelműen meghatározza az ac síkot; a b egyenes és a c vektor egyértelműen meghatározza a bc síkot; a két sík különböző, mert a és b kitérők; végül c a két sík metszésvonala. Mivel az ellentétes irányú c irányvektorok ugyanazt a c egyenest határtozzák meg, összesen 4 lehetséges c egyenes létezik.

A lehetséges c egyenesek száma tehát \alpha\le\pi/4 esetén 0, \alpha>\pi/4 esetén 4.


Statistics:

65 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gáspár Attila, Gyulai-Nagy Szuzina, Jenei Dániel Gábor, Kabos Eszter, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nemes György, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Williams Kada.
4 points:Balogh Tamás, Csépai András, Fonyó Viktória, Kátay Tamás, Maga Balázs, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás.
3 points:11 students.
2 points:8 students.
1 point:9 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013