KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4581. Given two perpendicular skew lines and an acute angle \alpha, determine the number of lines that intersect both given lines and encloses an angle of \alpha with each.

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Legyen a két kitérő egyenes a és b, a keresett harmadik egyenes c; az egyenesek egy-egy egységnyi hosszúságú irányvektora a, b, illetve c. A feltétel szerint a és c szöge, illetve b és c szöge is \alpha vagy \pi-\alpha. Ábrázoljuk a vektorokat az egységgömbön. Azok a vektorok, amiknek az a vektorral bezárt szöge \alpha vagy \pi-\alpha, egy a és egy -a középpontú, \alpha sugarú körön vannak. Hasonlóan, azok a vektorok, amiknek a b vektorral bezárt szöge \alpha vagy \pi-\alpha, egy b és egy -b középpontú, \alpha sugarú körön vannak. A c vektor e két halmaz metszetében van.

A gömbön az a és a b távolsága \pi/2. Ha tehát \alpha<\pi/4, akkor a két halmaznak nincs közös pontja, tehát nem létezik a kiívánt c egyenes sem.

Ha \alpha=\pi/4, akkor a két halmaznak 4 közös pontja van, és az a, b és c vektorok egy síkba esnek. Ez viszont nem lehetséges, mert ekkor az a,b,c egyeneseknek is egy síkba kellene esnie.

Ha \pi/4<\alpha<\pi/2, akkor a két halmaznak 8 közös pontja van, és az a, b és c vektorok lineárisan függetlenek. Ilyenkor az az a és b egyenesek és a c vektor egyértelműen meghatározzák a c egyenes helyzetét: az a egyenes és a c vektor egyértelműen meghatározza az ac síkot; a b egyenes és a c vektor egyértelműen meghatározza a bc síkot; a két sík különböző, mert a és b kitérők; végül c a két sík metszésvonala. Mivel az ellentétes irányú c irányvektorok ugyanazt a c egyenest határtozzák meg, összesen 4 lehetséges c egyenes létezik.

A lehetséges c egyenesek száma tehát \alpha\le\pi/4 esetén 0, \alpha>\pi/4 esetén 4.


Statistics on problem B. 4581.
65 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gáspár Attila, Gyulai-Nagy Szuzina, Jenei Dániel Gábor, Kabos Eszter, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nemes György, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Williams Kada.
4 points:Balogh Tamás, Csépai András, Fonyó Viktória, Kátay Tamás, Maga Balázs, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás.
3 points:11 students.
2 points:8 students.
1 point:9 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley