Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4582. (December 2013)

B. 4582. Let d(n) denote the number of positive factors of the positive integer n. Determine those numbers n for which d(n3)=5.d(n).

Suggested by M. Di Giovanni, Győr

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az n=1 nem megoldása az egyenletnek, ezért n\ge2. Legyen n prímténytezős felbontása n=p1a1.....pkak, ahol k\ge1, p1,...,pk különböző prímszámok, és a1,...,ak pozitív egészek. Ekkor d(n) = \prod_{i=1}^k (a_i+1) és d(n^3) = \prod_{i=1}^k (3a_i+1), az egyenletünk pedig a következő alakba írható:

 5 = \prod_{i=1}^k \frac{3a_i+1}{a_i+1}.

A jobboldalon minden tényező 2 és 3 közé esik, ugyanis \frac{3a_i+1}{a_i+1} < \frac{3a_i+3}{a_i+1} =3 és \frac{3a_i+1}{a_i+1} \ge \frac{(2a_i+1)+1 }{a_i+1} =2. Egyetlen tényező esetén a szorzat kisebb, mint 3; legalább három tényező esetén pedig a szorzat értéke legalább 8. Ezért a tényezők száma csak 2 lehet: k=2.

Vezessünk be új jelöléseket: legyen p=p1, q=p2, a=a1 és b=a2. Az új egyenlet:

(3a+1)(3b+1)=5(a+1)(b+1)

(2a-1)(2b-1)=5.

Az 5 csak egyféleképpen bontható pozitív egészek szorzatává; azt kapjuk, hogy a és b közül az egyik 1, a másik 3. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a=3 és b=1. Tehát

n=p3.q,

ahol p és q különböző prímek.

Az ilyen alakú számok valóban megoldások, mert d(n)=d(p3q)=4.2=8 és d(n3)=f(p9q3)=10.4=40.


Statistics:

158 students sent a solution.
3 points:106 students.
2 points:21 students.
1 point:22 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013