KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4582. (December 2013)

B. 4582. Let d(n) denote the number of positive factors of the positive integer n. Determine those numbers n for which d(n3)=5.d(n).

Suggested by M. Di Giovanni, Győr

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az n=1 nem megoldása az egyenletnek, ezért n\ge2. Legyen n prímténytezős felbontása n=p1a1.....pkak, ahol k\ge1, p1,...,pk különböző prímszámok, és a1,...,ak pozitív egészek. Ekkor d(n) = \prod_{i=1}^k (a_i+1) és d(n^3) = \prod_{i=1}^k (3a_i+1), az egyenletünk pedig a következő alakba írható:

 5 = \prod_{i=1}^k \frac{3a_i+1}{a_i+1}.

A jobboldalon minden tényező 2 és 3 közé esik, ugyanis \frac{3a_i+1}{a_i+1} < \frac{3a_i+3}{a_i+1} =3 és \frac{3a_i+1}{a_i+1} \ge \frac{(2a_i+1)+1 }{a_i+1} =2. Egyetlen tényező esetén a szorzat kisebb, mint 3; legalább három tényező esetén pedig a szorzat értéke legalább 8. Ezért a tényezők száma csak 2 lehet: k=2.

Vezessünk be új jelöléseket: legyen p=p1, q=p2, a=a1 és b=a2. Az új egyenlet:

(3a+1)(3b+1)=5(a+1)(b+1)

(2a-1)(2b-1)=5.

Az 5 csak egyféleképpen bontható pozitív egészek szorzatává; azt kapjuk, hogy a és b közül az egyik 1, a másik 3. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a=3 és b=1. Tehát

n=p3.q,

ahol p és q különböző prímek.

Az ilyen alakú számok valóban megoldások, mert d(n)=d(p3q)=4.2=8 és d(n3)=f(p9q3)=10.4=40.


Statistics:

159 students sent a solution.
3 points:106 students.
2 points:21 students.
1 point:22 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley