KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4584. (December 2013)

B. 4584. A line is drawn through each of two opposite vertices of a parallelogram such that each line intersects the extensions of the sides of the parallelogram at two points. Prove that the four points of intersection form a trapezium.

Suggested by G. Moussong, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 10 January 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Betűzzük a paralelogrammát és a metszéspontokat az ábra szerint. Azt akarjuk megmutatni, hogy az PR és az SQ szakasz párhuzamos egymással. Mivel AB||CD és AD||BC, a következők ekvivalensek:

(a) az PR és az SQ szakasz párhuzamos egymással;

(b) a BRB és DQS háromszögek hasonlók;

(c) \frac{BP}{BR}=\frac{DS}{DQ}.

A (c) állítást fogjuk igazolni.

A PBA és ADQ háromszögek hasonlók, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak, ezért

 \frac{BP}{BA} = \frac{DA}{DQ}.  (1)

A CBR és SDC háromszögek is hasonlók, és

 \frac{BC}{BR} = \frac{DS}{DC}. (2)

A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, így

 \frac{BA}{BC} = \frac{DC}{DA}. (3).

Az (1), (2) és (3) szorzata a (c) állítás.

2. megoldás. Alkalmazzuk a Papposz-tételt az A,P,Q és C,S,R ponthármasokra.


Statistics:

133 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:33 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley