KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4585. (December 2013)

B. 4585. Prove that if x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0, then {(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)}^2\ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). What is the condition for equality?

Suggested by P. Erben and J. Pataki, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on 10 January 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0 feltételből látjuk, hogy

(x1+x2+x3+x4+x5)2\ge(4x4+x5)2,(1)

és egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4.

Elég tehát azt igazolnunk, hogy


(4x_4+x_5)^2 \ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). (2)

Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva,


(4x_4+x_5)^2 -\frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big) =
\frac12(x_4-x_5)(7x_4+23x_5) \ge0.

Mivel mindkét tényező nemnegatív, ez biztosan teljesül. Az egyenlőség feltétele, hogy valamelyik tényező 0 legyen. Az (x4-x5) tényező akkor tűnik el, ha x4=x5. A (7x4+23x5) tényező pedig, mivel a tagok nemnegatívak, csak úgy lehet 0, ha x4=x5=0. A (2)-ben az egyenlőség feltétele tehát az, hogy x4=x5.

Az (1) és a (2) együtt kiadja az állítást. Egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4=x5.


Statistics:

177 students sent a solution.
3 points:93 students.
2 points:40 students.
1 point:32 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley