Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4585. (December 2013)

B. 4585. Prove that if x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0, then {(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)}^2\ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). What is the condition for equality?

Suggested by P. Erben and J. Pataki, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0 feltételből látjuk, hogy

(x1+x2+x3+x4+x5)2\ge(4x4+x5)2,(1)

és egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4.

Elég tehát azt igazolnunk, hogy


(4x_4+x_5)^2 \ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). (2)

Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva,


(4x_4+x_5)^2 -\frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big) =
\frac12(x_4-x_5)(7x_4+23x_5) \ge0.

Mivel mindkét tényező nemnegatív, ez biztosan teljesül. Az egyenlőség feltétele, hogy valamelyik tényező 0 legyen. Az (x4-x5) tényező akkor tűnik el, ha x4=x5. A (7x4+23x5) tényező pedig, mivel a tagok nemnegatívak, csak úgy lehet 0, ha x4=x5=0. A (2)-ben az egyenlőség feltétele tehát az, hogy x4=x5.

Az (1) és a (2) együtt kiadja az állítást. Egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4=x5.


Statistics:

175 students sent a solution.
3 points:93 students.
2 points:40 students.
1 point:32 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013