KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4585. Prove that if x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0, then {(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)}^2\ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). What is the condition for equality?

Suggested by P. Erben and J. Pataki, Budapest

(3 points)

Deadline expired on 10 January 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az x1\gex2\gex3\gex4\gex5\ge0 feltételből látjuk, hogy

(x1+x2+x3+x4+x5)2\ge(4x4+x5)2,(1)

és egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4.

Elég tehát azt igazolnunk, hogy


(4x_4+x_5)^2 \ge \frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big). (2)

Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva,


(4x_4+x_5)^2 -\frac{25}{2} \big(x_4^2+x_5^2\big) =
\frac12(x_4-x_5)(7x_4+23x_5) \ge0.

Mivel mindkét tényező nemnegatív, ez biztosan teljesül. Az egyenlőség feltétele, hogy valamelyik tényező 0 legyen. Az (x4-x5) tényező akkor tűnik el, ha x4=x5. A (7x4+23x5) tényező pedig, mivel a tagok nemnegatívak, csak úgy lehet 0, ha x4=x5=0. A (2)-ben az egyenlőség feltétele tehát az, hogy x4=x5.

Az (1) és a (2) együtt kiadja az állítást. Egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4=x5.


Statistics on problem B. 4585.
177 students sent a solution.
3 points:93 students.
2 points:40 students.
1 point:32 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley