KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4586. KL and M are points of sides AB, AC and BC of triangle ABC, respectively. KL is parallel to BC, KL=LC, and LMB\sphericalangle =
BAC\sphericalangle. Prove that LM=AK.

(Kvant)

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel \(\displaystyle KL||BC\) és \(\displaystyle KL=LC\), láthatjuk, hogy \(\displaystyle KCB\angle = CKL\angle = LCK\angle\), és így \(\displaystyle CK\) az \(\displaystyle ACB\angle\) felezője.

Legyen \(\displaystyle N\) az a pont az \(\displaystyle AB\) egyenesen, amire \(\displaystyle KN\) párhuzamos \(\displaystyle LM\)-mel. Ekkor tehát \(\displaystyle KL||MN\) és \(\displaystyle KN||LM\), vagyis a \(\displaystyle KLMN\) négszög paralelogramma. Mivel \(\displaystyle CNK\angle=CML\angle=180^\circ-LMB\angle=180^\circ-KAC\angle\), az \(\displaystyle AKNC\) négyszög húrnégyszög.

Mivel \(\displaystyle CK\) az \(\displaystyle ACN\) szög felezője, az \(\displaystyle AKNC\) négyszög köré írt körön az \(\displaystyle AK\) és \(\displaystyle KN\) ívek ugyanakkora kerületi szöghöz tartoznak, így \(\displaystyle AK=KN\). Mivel pedig \(\displaystyle KLMN\) paralelogramma, \(\displaystyle KN=LM\). Tehát,

\(\displaystyle AK = KN = LM. \)


Statistics on problem B. 4586.
144 students sent a solution.
4 points:125 students.
3 points:14 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley