Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4586. feladat (2013. december)

B. 4586. A K, L és M az ABC háromszög AB, AC és BC oldalának olyan pontjai, melyekre KL párhuzamos BC-vel, továbbá KL=LC és LMB\sphericalangle =
BAC\sphericalangle. Igazoljuk, hogy LM=AK.

(Kvant)

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel \(\displaystyle KL||BC\) és \(\displaystyle KL=LC\), láthatjuk, hogy \(\displaystyle KCB\angle = CKL\angle = LCK\angle\), és így \(\displaystyle CK\) az \(\displaystyle ACB\angle\) felezője.

Legyen \(\displaystyle N\) az a pont az \(\displaystyle AB\) egyenesen, amire \(\displaystyle KN\) párhuzamos \(\displaystyle LM\)-mel. Ekkor tehát \(\displaystyle KL||MN\) és \(\displaystyle KN||LM\), vagyis a \(\displaystyle KLMN\) négszög paralelogramma. Mivel \(\displaystyle CNK\angle=CML\angle=180^\circ-LMB\angle=180^\circ-KAC\angle\), az \(\displaystyle AKNC\) négyszög húrnégyszög.

Mivel \(\displaystyle CK\) az \(\displaystyle ACN\) szög felezője, az \(\displaystyle AKNC\) négyszög köré írt körön az \(\displaystyle AK\) és \(\displaystyle KN\) ívek ugyanakkora kerületi szöghöz tartoznak, így \(\displaystyle AK=KN\). Mivel pedig \(\displaystyle KLMN\) paralelogramma, \(\displaystyle KN=LM\). Tehát,

\(\displaystyle AK = KN = LM. \)


Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:125 versenyző.
3 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai