KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4587. (December 2013)

B. 4587. Solve the equation 4^{x}-3^{x}=\mathop{\rm tg} 15^{\circ}.

(3 pont)

Deadline expired on 10 January 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mint jól ismert,


\tg 15^\circ =
\tg (60^\circ-45^\circ) =
\frac{\tg 60^\circ-\tg 45^\circ}{1+\tg 60^\circ\cdot\tg 45^\circ} =
\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3} =
\frac{\big(\sqrt3-1\big)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} = 2-\sqrt3 = 4^{1/2}-3^{1/2},

ezért x=\frac12 megoldása az egyenletnek.

Az egyenlet baloldala


4^x-3^x = 3^x \cdot \left(\bigg(\frac43\bigg)^x-1\right).

Ha x\le0, akkor ez nempozitív, így az egyenlet nem teljesülhet. A (0,\infty) félegyenesen pedig a 3^x \cdot \left(\bigg(\frac43\bigg)^x-1\right) kifejezés két pozitív, szigorúan növő függvény szorzata, ezért maga is szigorúan monoton nő. Így legfeljebb egy pozitív megoldás létezhet, amit már meg is találtunk.

Az egyenletnek egy valós megoldása van: x=\frac12.


Statistics:

207 students sent a solution.
3 points:67 students.
2 points:96 students.
1 point:30 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley