KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4588. The point D lies in the interior of a triangle ABC. Lines CD, AD and BD intersect sides AB, BC and CA at the points E, F and G, respectively. The intersection of lines EG and AF is H, and that of lines EF and BG is I. Show that the lines AB, FG and HI are concurrent.

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

1. megoldás. Alkalmazzuk a Desargues-tétel megfordítását az AGH és BFI háromszögekre. Mivel a megfelelő oldalpárok metszéspontjai (C=AG\capBF, D=AH\capBI, és E=GH\capFI) egy egyenesen vannak, a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek, nevezetesen AB, GF és HI egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak.

2. megoldás. Legyen AB metszéspontja a GF és a HI egyenessel M, illetve N. Azt akarjuk igazolni, hogy M=N; ehhez elég azt ellenőrizni, hogy (előjeles távolságokkal) \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NB}. (Ha GF vagy HI párhuzamos AB-vel, akkor \frac{AM}{MB}=1, illetve \frac{AN}{NB}=1.)

Írjuk fel a Ceva-tételt és a Menelaosz-tételt a következő hatféle módon.

Menelaosz-tétel az ABD háromszögre és az FGM egyenesre:  \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BG}{GD} \cdot \frac{DF}{FA} = -1

Menelaosz-tétel az ABD háromszögre és a HIN egyenesre:  \frac{BN}{NA} \cdot \frac{AH}{HD} \cdot \frac{DI}{IB} = -1

Ceva-tétel az ADG háromszögre és az E pontra:  \frac{HD}{AH} \cdot \frac{BG}{DB} \cdot \frac{CA}{GC} = 1

Menelaosz-tétel az ADG háromszögre és a BFC egyenesre:  \frac{DB}{BG} \cdot \frac{GC}{CA} \cdot \frac{AF}{FD} = -1

Ceva-tétel a BFD háromszögre és az E pontra:  \frac{IB}{DI} \cdot \frac{CF}{BC} \cdot \frac{AD}{FA} = 1

Menelaosz-tétel a BFD háromszögre és az AGC egyenesre:  \frac{BC}{CF} \cdot \frac{FA}{AD} \cdot \frac{DG}{GB} = -1

A fenti 6 képlet szorzata \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NA} = 1. Tehát \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NB}, és így M=N. Ezzel az állítást igazoltuk.


Statistics on problem B. 4588.
35 students sent a solution.
5 points:Andó Angelika, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Radó Hanna, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szegi Bogát, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Williams Kada.
4 points:Herczeg József, Mócsy Miklós, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton, Tulassay Zsolt.
3 points:2 students.
1 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley