Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4589. (December 2013)

B. 4589. Is there a natural number n for which the numbers 1^{10},2^{10},\ldots, n^{10} can be divided into 10 sets, such that the sum of the numbers in each set is the same?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az n=1011-1 szám ilyen, és megadjuk az 110,210,...,n10 számok egy megfelelő csoportosítását is.

Tetszőleges k nemnegatív egészre jelölje S(k) a k szám számjegyösszegét tízes számrendszerben, és legyen R(k) az S(k) osztási maradéka 10-szel osztva. Például S(987)=24 és R(987)=4. A csoportokat 0-tól 9-ig számozzuk meg, és tetszőleges 1\lek\len-re a k10 számot tegyük az R(k)-adik csoportba. Azt akarjuk igazolni, hogy tetszőleges 0\ler\le9 esetén az r-edik csoportban a számok összege \frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10}. A 0-dik csoportban helyezzük el 010-t is; ez nem változtatja meg az összegeket.

A 0\lek\le1011-1 számot x0+10x1+102x2+...+1010x10 alakban fogjuk felírni, ahol x0,...,x10\in{0,1,...,9} a k számjegyei 10-es számrendszerben. A zárójeleket felbontva,


(x_0+10x_1+10^2x_2+\ldots+10^{10}x_{10})^{10} =
\sum_{d_0+d_1+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}

alkalmas C_{d_0d_1\ldots d_{10}} konstansokkal; az esetleg fellépő 00 alakú hatványokat 1-nek definiáljuk.

Az r-edik csoportban a számok összege


\sum_{R(k)=r} k^{10}
= \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} 
\left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =


= \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
\left( \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} 
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right).   (1)

Tekintsük az utolsó zárójelben áll összeget egy tetszőleges d0,d1,...,d10 kitevősorozatra. Mivel d0+...+d10=0, a kitevők között legalább egyszer szerepel a 0. Legyen di az első ilyen. Ha az x_0,\ldots,x_{i-1} és x_{i+1},\ldots,x_{10} értékét ismerjük, akkor ezek egyértelműen meghatározzák az xi számjegyet, ugyanakkor xi nem befolyásolja x0d0x1d1...x10d10 értékét. Azt is megtehetjük tehát, hogy az összes számjegysorozatra összegzünk (ezáltal az összeg 10-szeresét kapjuk), és osztunk 10-zel:


\sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}  =
\frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}.

Ezt beírva (1)-be, majd visszacserélve a szummákat,


\sum_{R(k)=r} k^{10}
= \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
\left(\frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =


= \frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9
\left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}}
x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =
\frac1{10}\sum_{k=0}^{n-1} k^{10}.

A számok összege tehát valóban \frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10} mindegyik csoportban.

Megjegyzés. Az (R(0),R(1),R(2),...) sorozat az úgynevezett (Prouhet-)Thue-Morse sorozat egy általánosítása.


Statistics:

10 students sent a solution.
6 points:Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Maga Balázs, Williams Kada.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013