KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4591. Let \alpha be an irrational number. For every positive integer q, let N_q(\alpha)=\min \left\{{\left|\alpha-\frac pq\right|} \colon {p \in
\mathbb{Z}}\right\}, that is, the distance from the closest fraction that can be represented with a denominator of q (not necessarily cancelled to lowest terms). Show that there exists a k such that \sum\limits_{q=1}^{k} N_q(\alpha)>1.

Suggested by P. Maga, Budapest

(6 points)

Deadline expired on 10 January 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. A megoldás folyamán \| x\|-szel fogjuk jelölni az x távolságát a legközelebbi egész számtól. Ekkor tehát 0\le\|
x\| \le\frac12. Könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges x,y számokra és q pozitív egészre teljesülnek a következők:


\big\| |x|\big\| =\| x\| ; \qquad
\| x\| +\| y\|  \ge \| x+y\|
\ge \big|\| x\| -\| y\| \big|; \qquad
N_q(x) = \frac{\| qx\| }{q}.

A feladat állítása a következő lemmából fog következni:

Lemma. Bármely q pozitív egészre


N_q(\alpha)+N_{q+1}(\alpha) \ge \frac{\| \alpha\| }{q+1}.

Bizonyítás.


N_q(\alpha)+N_{q+1}(\alpha) = 
\frac{\big\| q\alpha\big\| }{q} + \frac{\big\| (q+1)\alpha\big\| }{q+1} \ge
\frac{\big\| q\alpha\big\| +\big\| (q+1)\alpha\big\| }{q+1} \ge 
\frac{\Big|\big\| q\alpha\big\| -\big\| (q+1)\alpha\big\| \Big|}{q+1} =
\frac{\| a\| }{q+1}.

A Lemma alapján, k=2n esetén


\sum_{q=1}^{k} N_q(\alpha) = 
\sum_{r=1}^{n} \big(N_{2r-1}(\alpha)+N_{2r}(\alpha)\big) \ge
\sum_{r=1}^{n} \frac{\| \alpha\| }{2r} =
\frac{\| \alpha\| }{2} \sum_{r=1}^{n} \frac1r.

Megjegyezzük, hogy \alpha nem egész szám, így \| \alpha\| >0. Ismert, hogy a \sum_{r=1}^{n} \frac1r harmonikus összeg nem korlátos, így van olyan n, mire \sum_{r=1}^{n} \frac1r > \frac{2}{\| \alpha\| }. Erre az n-re és k=2n-re


\sum_{q=1}^{k} N_q(\alpha)\ge
\frac{\| \alpha\| }{2} \sum_{r=1}^{n} \frac1r >
\frac{\| \alpha\| }{2} \cdot \frac{2}{\| \alpha\| } =1.

Megjegyzés. A fenti megoldás minden olyan \alpha-ra működik, ami nem egész.


Statistics on problem B. 4591.
8 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Fekete Panna, Maga Balázs, Williams Kada.
5 points:Kúsz Ágnes, Mócsy Miklós.
4 points:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley