KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4591. (December 2013)

B. 4591. Let \alpha be an irrational number. For every positive integer q, let N_q(\alpha)=\min \left\{{\left|\alpha-\frac pq\right|} \colon {p \in
\mathbb{Z}}\right\}, that is, the distance from the closest fraction that can be represented with a denominator of q (not necessarily cancelled to lowest terms). Show that there exists a k such that \sum\limits_{q=1}^{k} N_q(\alpha)>1.

Suggested by P. Maga, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on 10 January 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A megoldás folyamán \| x\|-szel fogjuk jelölni az x távolságát a legközelebbi egész számtól. Ekkor tehát 0\le\|
x\| \le\frac12. Könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges x,y számokra és q pozitív egészre teljesülnek a következők:


\big\| |x|\big\| =\| x\| ; \qquad
\| x\| +\| y\|  \ge \| x+y\|
\ge \big|\| x\| -\| y\| \big|; \qquad
N_q(x) = \frac{\| qx\| }{q}.

A feladat állítása a következő lemmából fog következni:

Lemma. Bármely q pozitív egészre


N_q(\alpha)+N_{q+1}(\alpha) \ge \frac{\| \alpha\| }{q+1}.

Bizonyítás.


N_q(\alpha)+N_{q+1}(\alpha) = 
\frac{\big\| q\alpha\big\| }{q} + \frac{\big\| (q+1)\alpha\big\| }{q+1} \ge
\frac{\big\| q\alpha\big\| +\big\| (q+1)\alpha\big\| }{q+1} \ge 
\frac{\Big|\big\| q\alpha\big\| -\big\| (q+1)\alpha\big\| \Big|}{q+1} =
\frac{\| a\| }{q+1}.

A Lemma alapján, k=2n esetén


\sum_{q=1}^{k} N_q(\alpha) = 
\sum_{r=1}^{n} \big(N_{2r-1}(\alpha)+N_{2r}(\alpha)\big) \ge
\sum_{r=1}^{n} \frac{\| \alpha\| }{2r} =
\frac{\| \alpha\| }{2} \sum_{r=1}^{n} \frac1r.

Megjegyezzük, hogy \alpha nem egész szám, így \| \alpha\| >0. Ismert, hogy a \sum_{r=1}^{n} \frac1r harmonikus összeg nem korlátos, így van olyan n, mire \sum_{r=1}^{n} \frac1r > \frac{2}{\| \alpha\| }. Erre az n-re és k=2n-re


\sum_{q=1}^{k} N_q(\alpha)\ge
\frac{\| \alpha\| }{2} \sum_{r=1}^{n} \frac1r >
\frac{\| \alpha\| }{2} \cdot \frac{2}{\| \alpha\| } =1.

Megjegyzés. A fenti megoldás minden olyan \alpha-ra működik, ami nem egész.


Statistics:

8 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Fekete Panna, Maga Balázs, Williams Kada.
5 points:Kúsz Ágnes, Mócsy Miklós.
4 points:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley