Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4593. (January 2014)

B. 4593. An ant starts crawling at constant speed from the left end of a 4-metre-long rubber rope towards the right end. It covers exactly one metre per minute. The rope is fixed at the left end, in a horizontal position. At the end of each minute, the rope is stretched uniformly by one metre. In which minute will the ant reach the right end of the rope? The ant is considered pointlike, the act of stretching takes negligible time, and the rope can be stretched to any length without breaking it.

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha azt nézzük, hogy egy adott perc alatt a hangya a gumikötél hányad részét tette meg, ez az arány az egyenletes nyújtás során nem változik. Mivel az első percben a kötél hossza 4 m, a megtett út aránya \(\displaystyle \frac{1}{4}\). A második percben a kötél hossza 5 m, az arány \(\displaystyle \frac{1}{5}\) és így tovább, az \(\displaystyle i\)-edik percben \(\displaystyle \frac{1}{i+3}\). Ezeket a törteket összeadva megkapjuk, hányadik percben, a kötél hányad részénél tart éppen a hangya. Amelyik percben az összeg eléri, vagy meghaladja az 1-et, akkor a hangya célba ér.

Mivel

\(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9} =\frac{2509}{2520}<1, \)

viszont

\(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} +\frac{1}{9} +\frac{1}{10} =\frac{2761}{2520}>1, \)

a hangya a 7. percben éri el a kötél jobb oldali végpontját.

Uzonyi Ákos (Budapest, Budai Ciszterci Szent Imre Gimn., 8. évf.),

Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 11. évf.)

és Hornyák Szabolcs (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

188 students sent a solution.
3 points:139 students.
2 points:17 students.
1 point:10 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014