KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4596. Solve the equation x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0.

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló negyedfokú polinomot több lépésben két másodfokú szorzatává alakítjuk. Az \(\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+3\) szorzattá alakítható, mivel teljes négyzet. Ezzel az egyenlet

\(\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}+x-\sqrt{3}=0. \)

Az ismert \(\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) azonosságot előkészítve vonjunk le és adjunk is hozzá \(\displaystyle x^{2}\)-et a bal oldalhoz.

\(\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}-x^{2}+x^{2}+x-\sqrt{3}=0, \)

az azonosság alkalmazása után pedig

\(\displaystyle \big(x^{2}-x- \sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)+x^{2}+x-\sqrt{3}=0. \)

Most már kiemelhetünk \(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)\)-at is:

\(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}-x+1-\sqrt{3}\,\big)=0. \)

Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Először nézzük azt az esetet, amikor

\(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)=0. \)

A megoldóképlet alapján kapunk két megoldást:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}. \)

Tekintsük a másik esetet:

\(\displaystyle x^{2}-x+1-\sqrt{3}=0. \)

A megoldóképletet alkalmazva:

\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{1-4+4\sqrt{3}}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}. \)

A megoldás során ekvivalens lépésekkel dolgoztunk, az egyenletnek mind a négy kapott valós szám megoldása.

Cseh Kristóf (Radnóti Miklós Kís. Gimn., Szeged, 9. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés: Az egyenlet szorzattá alakítása egy nem szokványos ötlettel rövidíthető. Az

\(\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0 \)

egyenlet a \(\displaystyle \sqrt{3}\)-ra, mint változóra nézve másodfokú.

\(\displaystyle \big(\sqrt{3}\,\big)^{2}- \big(2x^{2}+1\big) \sqrt{3}+x^{4}+x=0. \)

Írjuk fel most is a megoldóképletet:

\(\displaystyle \sqrt{3}=\frac{2x^{2}+1\pm\sqrt{4x^{4}+4x^{2}+1-4x^{4}-4x}}{2}=\frac{2x^{2}+1\pm |2x-1|}{2}. \)

Az ,,egyenlet'' két gyöke

\(\displaystyle \sqrt{3}=x^{2}+x, \quad \text{illetve} \quad \sqrt{3}=x^{2}-x+1. \)

Innen már adódik az egyenlet gyöktényezős alakja, a szorzattá alakítás:

\(\displaystyle \big(\sqrt{3}-x^{2}-x\big) \big(\sqrt{3}-x^{2}+x-1\big)=0. \)

Innen a megoldás már az előző szerint azonnal befejezhető.


Statistics on problem B. 4596.
118 students sent a solution.
5 points:64 students.
4 points:38 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley