Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4596. (January 2014)

B. 4596. Solve the equation x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló negyedfokú polinomot több lépésben két másodfokú szorzatává alakítjuk. Az \(\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+3\) szorzattá alakítható, mivel teljes négyzet. Ezzel az egyenlet

\(\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}+x-\sqrt{3}=0. \)

Az ismert \(\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) azonosságot előkészítve vonjunk le és adjunk is hozzá \(\displaystyle x^{2}\)-et a bal oldalhoz.

\(\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}-x^{2}+x^{2}+x-\sqrt{3}=0, \)

az azonosság alkalmazása után pedig

\(\displaystyle \big(x^{2}-x- \sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)+x^{2}+x-\sqrt{3}=0. \)

Most már kiemelhetünk \(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)\)-at is:

\(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}-x+1-\sqrt{3}\,\big)=0. \)

Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Először nézzük azt az esetet, amikor

\(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)=0. \)

A megoldóképlet alapján kapunk két megoldást:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}. \)

Tekintsük a másik esetet:

\(\displaystyle x^{2}-x+1-\sqrt{3}=0. \)

A megoldóképletet alkalmazva:

\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{1-4+4\sqrt{3}}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}. \)

A megoldás során ekvivalens lépésekkel dolgoztunk, az egyenletnek mind a négy kapott valós szám megoldása.

Cseh Kristóf (Radnóti Miklós Kís. Gimn., Szeged, 9. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés: Az egyenlet szorzattá alakítása egy nem szokványos ötlettel rövidíthető. Az

\(\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0 \)

egyenlet a \(\displaystyle \sqrt{3}\)-ra, mint változóra nézve másodfokú.

\(\displaystyle \big(\sqrt{3}\,\big)^{2}- \big(2x^{2}+1\big) \sqrt{3}+x^{4}+x=0. \)

Írjuk fel most is a megoldóképletet:

\(\displaystyle \sqrt{3}=\frac{2x^{2}+1\pm\sqrt{4x^{4}+4x^{2}+1-4x^{4}-4x}}{2}=\frac{2x^{2}+1\pm |2x-1|}{2}. \)

Az ,,egyenlet'' két gyöke

\(\displaystyle \sqrt{3}=x^{2}+x, \quad \text{illetve} \quad \sqrt{3}=x^{2}-x+1. \)

Innen már adódik az egyenlet gyöktényezős alakja, a szorzattá alakítás:

\(\displaystyle \big(\sqrt{3}-x^{2}-x\big) \big(\sqrt{3}-x^{2}+x-1\big)=0. \)

Innen a megoldás már az előző szerint azonnal befejezhető.


Statistics:

118 students sent a solution.
5 points:64 students.
4 points:38 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014