KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4597. The radii of the escribed circles of a triangle are ra, rb and rc, the radius of the circumscribed circle is R. Determine the angles of the triangle if ra+rb=3R and rb+rc=2R.

Suggested by S. Kiss, Szatmárnémeti

(4 points)

Deadline expired on 10 February 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy a háromszög derékszögű.

Legyenek a háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), kerülete \(\displaystyle 2s\), területe pedig \(\displaystyle T\). Ekkor a körök sugaraira vonatkozó ismert képletek szerint

\(\displaystyle r_a=\frac{T}{s-a},\quad r_b=\frac{T}{s-b},\quad r_c=\frac{T}{s-c}\quad {\rm és} \quad R=\frac{abc}{4T}. \)

Ezeket behelyettesítve az \(\displaystyle r_b+r_c=2R\) feltételbe, átrendezve, majd alkalmazva Héron képletét, mely szerint \(\displaystyle T^2=s(s-a)(s-b)(s-c)\), végül pedig felhasználva az \(\displaystyle (s-c)+(s-b)=a\) összefüggést, kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{T}{s-b}+\frac{T}{s-c} =\frac{abc}{2T},\)

\(\displaystyle \frac{4T^2}{s-b}+\frac{4T^2}{s-c} =2abc,\)

\(\displaystyle 4s(s-a)\big( (s-c)+(s-b)\big) =2abc,\)

\(\displaystyle 4s(s-a)=2bc,\quad \text{azaz} \quad 2s(2s-2a)-2bc=0.\)

Itt \(\displaystyle 2s-2a=b+c-a\), ezért

\(\displaystyle 0 =2s(2s-2a)-2bc=(b+c+a)(b+c-a)-2bc= \)

\(\displaystyle = {(b+c)}^2-a^2-2bc=b^2+c^2-a^2,\)

vagyis Pitagorasz tételének megfordítása szerint a háromszög \(\displaystyle a\) oldalával szemközti szöge derékszög.

Az \(\displaystyle r_a+r_b=3R\) feltételből kiindulva ugyanezeket az átalakításokat végrehajtva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{T}{s-a}+\frac{T}{s-b}=\frac{3abc}{4T},\)

\(\displaystyle \frac{4T^2}{s-a}+\frac{4T^2}{s-b}=3abc,\)

\(\displaystyle 4s(s-c)\big( (s-b)+(s-a)\big) =3abc,\)

\(\displaystyle 4s(s-c)=3ab,\quad \text{azaz} \quad a^2+b^2-c^2-ab=0.\)

Mivel \(\displaystyle a^2=b^2+c^2\), az utolsó egyenlőséget átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 2b^2-ab=0, \quad \text{azaz} \quad b(2b-a)=0, \)

amiből \(\displaystyle b>0\) miatt következik, hogy \(\displaystyle b=a/2\). Így a háromszög \(\displaystyle b\) befogójával szemközti hegyesszögének szinusza \(\displaystyle 1/2\), vagyis ez a szög \(\displaystyle 30^{\circ}\).

Tehát a háromszög szögei \(\displaystyle 30^{\circ}\), \(\displaystyle 60^{\circ}\) és \(\displaystyle 90^{\circ}\). Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy az ilyen szögekkel rendelkező háromszögek oldalaira \(\displaystyle a=2b\) és \(\displaystyle c=\sqrt{3}b\) teljesül, a körök sugarai pedig

\(\displaystyle r_a=\frac{\big(3+\sqrt{3}\,\big)b}{2},\quad r_b=\frac{\big(3-\sqrt{3}\,\big)b}{2},\quad r_c=\frac{\big(1+\sqrt{3}\,\big)b}{2} \quad \text{és} \quad R=b, \)

amik kielégítik a feladat feltételeit.

Bősze Zsófia (Bonyhád, Petőfi S. Evan. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján


Statistics on problem B. 4597.
50 students sent a solution.
4 points:Andi Gabriel Brojbeanu, Bereczki Zoltán, Boguszlavszkij Gergely, Bősze Zsófia, Cseh Kristóf, Cseke 997 Mihály, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fellner Máté, Fonyó Viktória, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Heinc Emília, Horeftos Leon, Kátay Tamás, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Mándoki Sára, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Nemes György, Páli Petra, Porupsánszki István, Sárosdi Zsombor, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Sütő Máté, Szabó 157 Dániel, Szajbély Zsigmond, Szebellédi Márton, Szemerédi Levente, Szőke Tamás, Vágó Ákos, Williams Kada.
3 points:Dinev Georgi, Forrás Bence, Katona Dániel, Simkó Irén, Stein Ármin, Vu Mai Phuong, Wiandt Péter.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley