Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4599. (January 2014)

B. 4599. Solve the equation sin5x+cos5x+sin4x=2.

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin x\leq1\), \(\displaystyle \cos x\leq1\) és \(\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1\) teljesül bármilyen \(\displaystyle x\) érték esetén, ezért:

\(\displaystyle \sin^5x+\cos^5x+\sin^4x=\sin^3x\cdot\sin^2x+\cos^3x\cdot\cos^2x+\sin^4x\leq\)

\(\displaystyle \leq1^3\cdot\sin^2x+1^3\cdot\cos^2x+1^4=1\cdot(\sin^2x+\cos^2x)+1=2.\)

Azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \sin^5x+\cos^5x+\sin^4x\leq2\), ahol egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sin x=1\), vagyis \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\pm2k\pi\), ahol \(\displaystyle k\in \Bbb Z\).

Kovács Márton (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 11. évf.)


Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mándoki Sára, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy Odett, Osváth Tibor Attila, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Szabó 157 Dániel, Szebellédi Márton, Varga Rudolf, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
3 points:25 students.
2 points:14 students.
1 point:11 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014