KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4599. (January 2014)

B. 4599. Solve the equation sin5x+cos5x+sin4x=2.

(4 pont)

Deadline expired on 10 February 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin x\leq1\), \(\displaystyle \cos x\leq1\) és \(\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1\) teljesül bármilyen \(\displaystyle x\) érték esetén, ezért:

\(\displaystyle \sin^5x+\cos^5x+\sin^4x=\sin^3x\cdot\sin^2x+\cos^3x\cdot\cos^2x+\sin^4x\leq\)

\(\displaystyle \leq1^3\cdot\sin^2x+1^3\cdot\cos^2x+1^4=1\cdot(\sin^2x+\cos^2x)+1=2.\)

Azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \sin^5x+\cos^5x+\sin^4x\leq2\), ahol egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sin x=1\), vagyis \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\pm2k\pi\), ahol \(\displaystyle k\in \Bbb Z\).

Kovács Márton (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 11. évf.)


Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mándoki Sára, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy Odett, Osváth Tibor Attila, Petrényi Márk, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Szabó 157 Dániel, Szebellédi Márton, Varga Rudolf, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
3 points:25 students.
2 points:14 students.
1 point:11 students.
0 point:9 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley