Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4602. (February 2014)

B. 4602. The diagonals of a cyclic trapezium are perpendicular. Prove that the distance of the centre of the circumscribed circle from one base is equal to the distance of the intersection of the diagonals from the other base.

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) az alapok felezőpontjai, \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) az átlók felezőpontjai; \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) egyenlő távolságra vannak az alapoktól, így rajta vannak a trapéz középvonalán.

A trapéz átlói a körülírt kör húrjai, ezért felező merőlegesük átmegy a kör \(\displaystyle K\) középpontján. \(\displaystyle PM=QM\), ezért és a derékszögek miatt a \(\displaystyle PKQM\) négyszög négyzet.

Legyen a \(\displaystyle PQ\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle L\). Mivel \(\displaystyle L\) illeszkedik a trapéz középvonalára, \(\displaystyle LE=LF\). Az \(\displaystyle L\) pont a \(\displaystyle PKQM\) négyzet középpontja, így \(\displaystyle LM=LK\), vagyis

\(\displaystyle ME=LE-LM=LF-LK=KF, \)

és ezt kellett bizonyítanunk.

Kosztolányi Kata (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn., 9. évf.) megoldása alapján


Statistics:

138 students sent a solution.
3 points:Adorján Dániel, Andi Gabriel Brojbeanu, Antal Dóra, Balázs Ákos Miklós, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csitári Nóra, Egyházi Anna, Erdős Zoltán, Fellner Máté, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gáspár Attila, Geng Máté, Gerliczky Bence, Győrfi-Bátori András, Heinc Emília, Janzer Orsolya Lili, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kovács Balázs Marcell, Kúsz Ágnes, Lakatos Dániel, Lengyel Ádám, Márton Boldizsár, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Olexó Gergely, Páli Petra, Pap Tibor, Sági Olivér, Sal Kristóf, Szabó 157 Dániel, Szabó Norbert, Szalay Bence, Szűcs Kilián Ádám, Temesi András, Tóth 199 Viktor, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Varga 123 Péter, Varga Rudolf, Wiandt Péter, Williams Kada.
2 points:50 students.
1 point:17 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014