KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4603. The surface area of a right circular cone is A, its volume is V. Prove that A3\ge72\pi.V2.

(4 points)

Deadline expired on 10 March 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a kúp alaplapjának sugara \(\displaystyle r\), a magassága \(\displaystyle m\), az alkotója pedig \(\displaystyle a\). A kúp felszín-, illetve térfogatképlete:

\(\displaystyle A=r^{2} \pi+r \pi a=r \pi(r+a),\qquad V=\frac{r^{2} \pi m}{3}. \)

Ezeket behelyettesítve az igazolandó egyenlőtlenségbe:

\(\displaystyle r^{3}\pi^{3} {(r+a)}^{3}\ge \frac{72\pi r^{4}\pi^{2}m^{2}}{9}. \)

A lehetséges egyszerűsítések után pedig:

\(\displaystyle {(r+a)}^{3} \ge 8r\cdot m^{2}. \)

Pitagorasz tétele alapján tudjuk, hogy \(\displaystyle m^2=a^2-r^2=(a+r)(a-r)\). Ezt beírva egyszerűsíthetünk a pozitív \(\displaystyle (a+r)\)-rel is:

\(\displaystyle {(r+a)}^{2}\ge 8r(a-r). \)

Rendezés után

\(\displaystyle a^{2}+ 2ar+r^{2}\ge 8ar - 8r^{2},\qquad a^{2}-6ar+9r^{2}= {(a-3r)}^2\ge 0. \)

Teljes négyzetet kaptunk, az átalakításaink ekvivalensek voltak, így az eredeti egyenlőtlenség igaz. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha

\(\displaystyle a=3r,\quad m=r\sqrt{8}= 2\sqrt{2}r. \)

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.) dolgozata alapján


Statistics on problem B. 4603.
126 students sent a solution.
4 points:102 students.
3 points:4 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley