KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4603. (February 2014)

B. 4603. The surface area of a right circular cone is A, its volume is V. Prove that A3\ge72\pi.V2.

(4 pont)

Deadline expired on 10 March 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a kúp alaplapjának sugara \(\displaystyle r\), a magassága \(\displaystyle m\), az alkotója pedig \(\displaystyle a\). A kúp felszín-, illetve térfogatképlete:

\(\displaystyle A=r^{2} \pi+r \pi a=r \pi(r+a),\qquad V=\frac{r^{2} \pi m}{3}. \)

Ezeket behelyettesítve az igazolandó egyenlőtlenségbe:

\(\displaystyle r^{3}\pi^{3} {(r+a)}^{3}\ge \frac{72\pi r^{4}\pi^{2}m^{2}}{9}. \)

A lehetséges egyszerűsítések után pedig:

\(\displaystyle {(r+a)}^{3} \ge 8r\cdot m^{2}. \)

Pitagorasz tétele alapján tudjuk, hogy \(\displaystyle m^2=a^2-r^2=(a+r)(a-r)\). Ezt beírva egyszerűsíthetünk a pozitív \(\displaystyle (a+r)\)-rel is:

\(\displaystyle {(r+a)}^{2}\ge 8r(a-r). \)

Rendezés után

\(\displaystyle a^{2}+ 2ar+r^{2}\ge 8ar - 8r^{2},\qquad a^{2}-6ar+9r^{2}= {(a-3r)}^2\ge 0. \)

Teljes négyzetet kaptunk, az átalakításaink ekvivalensek voltak, így az eredeti egyenlőtlenség igaz. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha

\(\displaystyle a=3r,\quad m=r\sqrt{8}= 2\sqrt{2}r. \)

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

126 students sent a solution.
4 points:102 students.
3 points:4 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley