Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4603. (February 2014)

B. 4603. The surface area of a right circular cone is A, its volume is V. Prove that A3\ge72\pi.V2.

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a kúp alaplapjának sugara \(\displaystyle r\), a magassága \(\displaystyle m\), az alkotója pedig \(\displaystyle a\). A kúp felszín-, illetve térfogatképlete:

\(\displaystyle A=r^{2} \pi+r \pi a=r \pi(r+a),\qquad V=\frac{r^{2} \pi m}{3}. \)

Ezeket behelyettesítve az igazolandó egyenlőtlenségbe:

\(\displaystyle r^{3}\pi^{3} {(r+a)}^{3}\ge \frac{72\pi r^{4}\pi^{2}m^{2}}{9}. \)

A lehetséges egyszerűsítések után pedig:

\(\displaystyle {(r+a)}^{3} \ge 8r\cdot m^{2}. \)

Pitagorasz tétele alapján tudjuk, hogy \(\displaystyle m^2=a^2-r^2=(a+r)(a-r)\). Ezt beírva egyszerűsíthetünk a pozitív \(\displaystyle (a+r)\)-rel is:

\(\displaystyle {(r+a)}^{2}\ge 8r(a-r). \)

Rendezés után

\(\displaystyle a^{2}+ 2ar+r^{2}\ge 8ar - 8r^{2},\qquad a^{2}-6ar+9r^{2}= {(a-3r)}^2\ge 0. \)

Teljes négyzetet kaptunk, az átalakításaink ekvivalensek voltak, így az eredeti egyenlőtlenség igaz. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha

\(\displaystyle a=3r,\quad m=r\sqrt{8}= 2\sqrt{2}r. \)

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

125 students sent a solution.
4 points:102 students.
3 points:4 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014