Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4604. (February 2014)

B. 4604. Solve the equation x^{3}+\left(\frac{x}{2x-1}\right)^{3}=\frac{243}{64}.

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A nevezőben nem lehet nulla, így \(\displaystyle x\ne \frac{1}{2}\). A  egyenlet bal oldalán két köb összege szerepel, amelynek a felírásához az összeg köbét használjuk majd fel. Ennek érdekében írjuk fel először a bal oldalon szereplő \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle \frac{x}{2x-1}\) összegének köbét. Egyrészt

\(\displaystyle \left(x + \frac{x}{2x-1}\right)^{\!\!3} = \left(\frac{(2x-1)x+x}{2x-1}\right)^{\!\!3} = \left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)^{\!\!3}, \)

másrészt a köbös azonosság alapján, az egyenletet felhasználva

\(\displaystyle \left(x + \frac{x}{2x-1}\right)^{\!\!3} =x^3 +\left(\frac{x}{2x-1}\right)^{\!\!3} + 3x^2\frac{x}{2x-1} + 3x\left(\frac{x}{2x-1}\right)^{\!\!2} = \)

\(\displaystyle =\frac{243}{64} + 3\left(\frac{x^3}{2x-1} + \frac{x^3}{{(2x-1)}^2}\right) = \)

\(\displaystyle = \frac{243}{64} + 3\left(\frac{(2x-1)x^3+x^3}{{(2x-1)}^2}\right) = \frac{243}{64} + 3\left(\frac{2x^4}{{(2x-1)}^2}\right).\)

A kétféle felírás egybevetésével

\(\displaystyle \left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)^{\!\!3} = \frac{243}{64} + 3\left(\frac{2x^4}{{(2x-1)}^2}\right). \)

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 64-gyel, majd ezután vezessük be az \(\displaystyle y\) új ismeretlent az \(\displaystyle \frac{8x^2}{2x-1}\) helyett:

\(\displaystyle 64\left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)^{\!\!3} = 243 + 3\cdot 64 \left(\frac{2x^4}{(2x-1)^2}\right), \quad y^{3}-6y^{2}-243=0. \)

Ha az egyenletnek van racionális gyöke, amely \(\displaystyle y= \frac{p}{q}\) alakban áll elő, akkor \(\displaystyle p\mid a_0=-243\) és \(\displaystyle q\mid a_3=1\), tehát a racionális gyök egész. Mivel \(\displaystyle 243=3^{5}\), legfeljebb öt próbálkozás után látható, hogy ennek az egyenletnek \(\displaystyle y=9\) megoldása, mert

\(\displaystyle 9^{3}-6\cdot 81-243=729-486-243=0. \)

A megtalált gyök ismeretében alakítsuk szorzattá az egyenletet:

\(\displaystyle (y-9)\big(y^{2}+3y+27\big)=0. \)

A második tényező nem lehet nulla, mert az \(\displaystyle y^{2}+3y+27=0\) egyenlet diszkriminánsa negatív. Tehát \(\displaystyle y\)-ra egyedüli megoldás az \(\displaystyle y=9\). Visszahelyettesítve

\(\displaystyle \frac{8x^{2}}{2x-1}=9, \qquad 8x^{2}-18x+9=0. \)

Ennek az egyenlet a gyökei megoldóképlettel már számolhatók:

\(\displaystyle x_1 = \frac34 \quad\text{és} \quad x_2 = \frac32, \)

amelyek - mint arról behelyettesítéssel meggyőződhetünk - valóban megoldásai is az egyenletnek.

Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

102 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gál Hanna, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Maglódi Ádám, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Nemes György, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Porupsánszki István, Sándor Krisztián, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szajbély Zsigmond, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tompa Tamás Lajos, Vágó Ákos, Williams Kada.
4 points:20 students.
3 points:6 students.
2 points:14 students.
1 point:12 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014