Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4605. (February 2014)

B. 4605. \alpha and \beta are different real numbers, at least one of which is not an integer. Is it necessarily true that there exists a positive integer n such that \alphan-\betan is not an integer?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy biztosan létezik ilyen \(\displaystyle n\). Ha sem \(\displaystyle n=1\), sem \(\displaystyle n=2\) nem megfelelő, akkor \(\displaystyle \alpha-\beta\ne 0\) és \(\displaystyle \alpha^2-\beta^2\) egész számok. Így \(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}\) racionális szám, és ezért \(\displaystyle \alpha=\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\) és \(\displaystyle \beta=\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\) is racionálisak. Hozzuk az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) racionális számokat közös nevezőre: \(\displaystyle \alpha=\frac{a}{c},\beta=\frac{b}{c}\), ahol feltehető, hogy \(\displaystyle (a,b,c)=1\). Az \(\displaystyle \alpha^n-\beta^n\) szám pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle c^n\) osztja az

\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) \)

számot. Az \(\displaystyle n=1\) esetből \(\displaystyle c|a-b\) adódik, vagyis \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle c\)-vel osztva. Mivel \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) közül legalább az egyik nem egész, ezért \(\displaystyle |c|\ne 1\), vagyis a \(\displaystyle c\) egész számnak létezik \(\displaystyle p\) prímosztója. Mivel \(\displaystyle c|a-b\), ezért \(\displaystyle a\equiv b\ (p)\), és így \(\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\equiv na^{n-1}\ (p)\). Mivel \(\displaystyle (a,b,c)=1\), ezért \(\displaystyle p\nmid a\), hiszen akkor \(\displaystyle p|b\)-nek is teljesülnie kellene, és \(\displaystyle p|(a,b,c)\) adódna. Így, ha az \(\displaystyle n\) szám nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, akkor abból, hogy \(\displaystyle c^n|a^n-b^n\) következik, hogy \(\displaystyle p^n|a-b\)-nek is teljesülnie kell, hiszen az \(\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\) összegnek nem osztója \(\displaystyle p\). Elég tehát mutatni egy olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész számot, amelyre \(\displaystyle p\nmid n\) és \(\displaystyle p^n\nmid a-b\). Mivel \(\displaystyle a-b\) egy 0-tól különböző egész szám, ezért ilyen \(\displaystyle n\) nyilvánvalóan létezik: például \(\displaystyle n=p|a-b|+1\) megfelelő, vagyis biztosan létezik olyan \(\displaystyle n\), amelyre \(\displaystyle \alpha^n-\beta^n\) nem egész.


Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Williams Kada, Zsók Bianka.
4 points:Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kabos Eszter, Mócsy Miklós.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:11 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014