KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4605. \alpha and \beta are different real numbers, at least one of which is not an integer. Is it necessarily true that there exists a positive integer n such that \alphan-\betan is not an integer?

(5 points)

Deadline expired on 10 March 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Megmutatjuk, hogy biztosan létezik ilyen \(\displaystyle n\). Ha sem \(\displaystyle n=1\), sem \(\displaystyle n=2\) nem megfelelő, akkor \(\displaystyle \alpha-\beta\ne 0\) és \(\displaystyle \alpha^2-\beta^2\) egész számok. Így \(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}\) racionális szám, és ezért \(\displaystyle \alpha=\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\) és \(\displaystyle \beta=\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\) is racionálisak. Hozzuk az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) racionális számokat közös nevezőre: \(\displaystyle \alpha=\frac{a}{c},\beta=\frac{b}{c}\), ahol feltehető, hogy \(\displaystyle (a,b,c)=1\). Az \(\displaystyle \alpha^n-\beta^n\) szám pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle c^n\) osztja az

\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}) \)

számot. Az \(\displaystyle n=1\) esetből \(\displaystyle c|a-b\) adódik, vagyis \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle c\)-vel osztva. Mivel \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) közül legalább az egyik nem egész, ezért \(\displaystyle |c|\ne 1\), vagyis a \(\displaystyle c\) egész számnak létezik \(\displaystyle p\) prímosztója. Mivel \(\displaystyle c|a-b\), ezért \(\displaystyle a\equiv b\ (p)\), és így \(\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\equiv na^{n-1}\ (p)\). Mivel \(\displaystyle (a,b,c)=1\), ezért \(\displaystyle p\nmid a\), hiszen akkor \(\displaystyle p|b\)-nek is teljesülnie kellene, és \(\displaystyle p|(a,b,c)\) adódna. Így, ha az \(\displaystyle n\) szám nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, akkor abból, hogy \(\displaystyle c^n|a^n-b^n\) következik, hogy \(\displaystyle p^n|a-b\)-nek is teljesülnie kell, hiszen az \(\displaystyle a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\) összegnek nem osztója \(\displaystyle p\). Elég tehát mutatni egy olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész számot, amelyre \(\displaystyle p\nmid n\) és \(\displaystyle p^n\nmid a-b\). Mivel \(\displaystyle a-b\) egy 0-tól különböző egész szám, ezért ilyen \(\displaystyle n\) nyilvánvalóan létezik: például \(\displaystyle n=p|a-b|+1\) megfelelő, vagyis biztosan létezik olyan \(\displaystyle n\), amelyre \(\displaystyle \alpha^n-\beta^n\) nem egész.


Statistics on problem B. 4605.
50 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Williams Kada, Zsók Bianka.
4 points:Cseh Kristóf, Fekete Panna, Kabos Eszter, Mócsy Miklós.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:11 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley