KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4606. Solve the equation


\frac{x\cdot 2014^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\cdot 2014^x}2 =2014

on the set of positive numbers.

(Matlap, Kolozsvár)

(3 points)

Deadline expired on 10 March 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy az \(\displaystyle x=1\) megoldása az egyenletnek. A továbbiakban azt fogjuk belátni, hogy az összes többi pozitív valós számra

\(\displaystyle \frac{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}+\cfrac{1}{x}\cdot 2014^x}{2}>2014. \)

Írjuk fel a pozitív \(\displaystyle a=x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\), \(\displaystyle b=\frac{1}{x}\cdot 2014^x\) számokra a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\,. \)

A bal oldal éppen az eredeti egyenlet bal oldala. A jobb oldal pedig a következőképpen alakítható:

\(\displaystyle \sqrt{ab} =\sqrt{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot \frac{1}{x}\cdot 2014^x} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot 2014^x}=\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}+x}}} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{x}}}}= \)

\(\displaystyle = 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}.\)

A továbbiakban belátjuk, hogy minden \(\displaystyle x\ne 1\) pozitív számra

\(\displaystyle 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}>2014. \)

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez éppen

\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x} >1, \)

\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x}-1 >0, \)

\(\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{2x} >0, \)

\(\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2x} >0,\)

ami nyilván igaz.

Tehát az egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, az 1.

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.)


Statistics on problem B. 4606.
160 students sent a solution.
3 points:77 students.
2 points:41 students.
1 point:37 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley